2.14. Обобщенный мнк
Как и раньше будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А дисперсия остатков не остается постоянной для разных значений фактора, а пропорциональна величине
,
т.е.
,
где
- дисперсия остатков при определенном
значении фактора;
- постоянная дисперсия ошибки при
соблюдении предпосылки о гомоскедастичности
остатков;
- коэффициент пропорциональности,
меняющийся с изменением величины
фактора, что и обусловливает неоднородность
дисперсии.
При этом предполагается, что
неизвестна, а в отношении величины
выдвигаются определенные гипотезы,
характеризующие структуру
гетероскедастичности.
В общем виде для уравнения
,
при
модель примет вид
.
В ней остаточные величины гетероскедастичны.
Предполагая в них отсутствие автокорреляции,
можно перейти к уравнению с
гетероскедастичными остатками, поделив
все переменные, зафиксированные в ходе
i –ого наблюдения, на
.
Тогда дисперсия остатков будет величиной
постоянной, т.е.
.
Т.е. по регрессии y по
x мы перейдем к регрессии
на новых переменных:
.
Уравнение регрессии примет вид:
.
Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
По отношению к обычной регрессии
уравнение с новыми, преобразованными
переменными представляет собой взвешенную
регрессию, в которой переменные y
и x взяты с весами
.
Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов (ВМНК), для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида
.
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
.
2.15. Метод наименьших модулей отклонений
Кроме МНК могут быть использованы другие критерии оценки параметров уравнения регрессии, в частности метод наименьших модулей отклонений (МНК):
.
Достоинством этого метода в отличие от
МНК является меньшая чувствительность
к большим выбросам, а недостатками
является вычислительная сложность и
неоднозначность параметров, т.е. одним
и тем же значениям функционала F
могут соответствовать различные вектора
.
Вычисление параметров с помощью МОМ можно производить на основе методов поиска экстремумов.
Раздел 3. Система эконометрических уравнений
3.1. Классификация систем эконометрических уравнений
Экономические явления обычно описываются не одной, а несколькими зависимостями, которые образуют систему уравнений.
В зависимости от того, как взаимосвязаны между собой зависимые и независимые переменные, различают три класса систем уравнений:
Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (у) является функцией одного и того же набора факторов (х).
Каждое уравнение такой системы может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется МНК. Каждое уравнение является уравнением регрессии.
Система рекурсивных уравнений, когда каждая зависимая переменная (у) одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:
В данной системе уравнений каждое последующее уравнение включает предыдущие зависимые переменные. Однако, как и в предыдущем случае, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются с помощью МНК.
Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, в которой одни и те же зависимые переменные из одних уравнений входят во все другие уравнения:
В эконометрике эта система уравнений
называется также структурной формой
модели. В отличие от предыдущих систем,
каждое уравнение системы не может
рассматриваться самостоятельно. Для
нахождения его параметров традиционный
МНК не применим. Используются специальные
приемы оценивания параметров. Обычно
все переменные модели выражаются в
отношениях от среднего уровня, т.е.
вместо х используется
,
а вместо
.
Поэтому в уравнениях отсутствует
свободный член:
