4. Составление плана эксперимента.

Таблица, составленная из значений факторов для каждого опыта, как независимых (i= ), так и зависимых (i= ), называется матрицей планирования. Та ее часть, которая включает в себя значения независимых переменных, является планом эксперимента.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если k факторов варьируется на двух уровнях, то число всех возможных сочетаний факторов равно 2^k и полный факторный эксперимент называется ПФЭ типа 2^k.

В общем случае ПФЭ типа 2^k обладает следующими свойствами:

• симметричностью относительно центра эксперимента (алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0: , i= ., где x_iu – значение i-го фактора в u –том опыте);

• сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (условие нормировки): i= ;

• условиям ортогональности (сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна 0): , I<j; i, j= . Ортогональность матриц позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов при обработке данных с помощью метода наименьших квадратов.

Коэффициенты полинома составляют: b_i= x_iu ; b_ij= x_iu x_ju.

5. Обработка результатов эксперимента.

Включает следующие этапы:

• на основании данных параллельных наблюдений оценивается дисперсия воспроизводимости D_yi для каждой строки плана и определятся критерий равноточности (критерий Кохрена) G, осуществляется проверка однородности дисперсий и рассчитывается погрешность опыта ;

• с помощью метода наименьших квадратов определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома;

• производится проверка адекватности модели исходя из критерия Фишера F;

• проверяется значимость коэффициентов полинома, исключаются незначимые, осуществляется повторная проверка адекватности модели.

6. Анализ результатов эксперимента.

Заключается в интерпретации модели в терминах объекта и определении оптимальных условий функционирования.

Пример.

Предварительные исследования показали, что наибольший интерес представляют 3 фактора: плотность тока Х₁ , температура раствора Х₂ и концентрация хрома Х₃. Уровни факторов и их интервалы варьирования выбраны на основе априорных сведений об объекте (табл. 1).

Таблица №1
Параметр	Фактор
	Плотность тока, А/м2	Тем-ра, 0С	Кон-ция, кг/м3
	Х1	Х2	Х3
Основной уровень , Хi	55	45	0,7
Интервал варьирования, Ii	25	15	0,3
Верхний уровень, Хi max	80	60	1
Нижний уровень Хi min	30	30	0,4

Решение.

Анализ имеющихся сведений об объекте свидетельствует, о том, что наибольший интерес представляют линейные эффекты и парные взаимодействия. Поэтому модель объекта имеет вид:

Y=b + b₁ x₁+ b₂x₂+ b₃ x₃ + b₁₂ x₁x₂ + b₁₃ x₁x₃ + b₂₃ x₂x₃ (1)

Наиболее простой план, допускающий оценку всех коэффициентов такой модели (s=7), - ПФЭ типа 2³ с N=8 (табл. 2).

Таблица № 2
№ оп.	Опыты	Фактор				Отклик		Оценка
		Х0	Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Yср.	Dy
1	8,13	+1	-1	-1	-1	3,40	4,10	3,750	0,245
2	11,15	+1	+1	-1	-1	-0,40	-0,60	-0,500	0,020
3	6,14	+1	-1	+1	-1	2,70	1,80	2,250	0,405
4	3,12	+1	+1	+1	-1	2,35	3,15	2,750	0,320
5	2,4	+1	-1	-1	+1	2,20	3,30	2,750	0,605
6	1,9	+1	+1	-1	+1	-0,84	-1,16	-1,000	0,051
7	5,7	+1	-1	+1	+1	0,60	0,90	0,750	0,045
8	10,16	+1	+1	+1	+1	0,60	0,40	0,500	0,020
									1,711
Yср.								1,406

В таблице № 2 приведены результаты опытов (при m=2), расчетные средние значения и дисперсия отклика в каждой точке опыта. Последовательность проведения опытов (от 1-го до 16-го) удовлетворяет требованию рандомизации, т.е. организации случайной последовательности опытов, позволяющей минимизировать влияние помех.

По данным табл. 2 определим критерий Кохрена:

/ (2)

G=0,605/1,711=0,35

Табличное значение G_Т при m-1=1 и N=8 равно 0,680 (см. табл. I. Приложение). Так как G< G_Т , гипотеза равноточноcти не отвергается. При этом дисперсия опыта равна:

= (3)

=1,711/(2*8)=0,107

Для определения коэффициентов регрессии воспользуемся выражениями:

b_i= x_iu (4 а)

b₀ = 1/8(3,75-0,50+2,25+2,75+2,75-1,0+0,75+0,5)=1,406

b_ij= x_iu x_ju (4 б)

Тогда:

b0	b1	b2	b3	b12	b13	b23
1,406	-0,968	0,156	-0,656	1,031	-0,031	-0,281

Подставив найденные значения коэффициентов регрессии в аппроксимирующий полином, получим:

Y=1,406 – 0,968 x₁+ 0,156 x₂ – 0,656 x₃ + 1,031 x₁x₂ – 0,031 x₁x₃ – 0,281 x₂x₃ (5)

Воспользовавшись приведенной зависимостью (5), составим табл. 3 и по ее данным вычислим дисперсию адекватности:

Таблица №3
№ оп.	Yср	Yр	Yр-Yср	(Yр-Yср)2
1	3,75	3,594	-0,156	0,024
2	-0,50	-0,344	0,156	0,024
3	2,25	2,406	0,156	0,024
4	2,75	2,594	-0,156	0,024
5	2,75	2,906	0,156	0,024
6	-1,00	-1,156	-0,156	0,024
7	0,75	0,594	-0,156	0,024
8	0,50	0,656	0,156	0,024
				0,195

= (6)

=0,195/(8-7)=0,195

Для проверки гипотезы адекватности найдем значение критерия Фишера:

F= / (7)

F= 0,195/0,107=1,82

При числе степеней свободы N-s=8-7=1 и N*(m-1)=8*(2-1)=8 согласно табл. II Приложения.

Имеем F< F_Т= 1,82<5,32

Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Найдем значимые коэффициенты регрессии.

Дисперсии коэффициентов равны:

= /N (8)

= 0,107/8=0,0134

Среднее квадратичное отклонение равно:

= (9)

= =0,115

Расчетное значение критерия Стьюдента для коэффициентов:

t_l = (10)

t₀ = 1,406/0,115=12,13

t0	t1	t2	t3	t12	t13	t23
12,23	8,43	1,36	5,72	8,98	0,27	2,44

Табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы  =N (m-1)=8*(2-1) = 8 (см. табл. Приложение) составляет t_Т = 2,31.

Сравнение расчетных значений t-критерия с табличным позволяет сделать заключение о незначимости коэффициентов b₂ и b₁₃.

Тогда аппроксимирующий полином примет вид:

Y=1,406 – 0,968 x₁ – 0,656 x₃ + 1,031 x₁x₂ – 0,281 x₂x₃ (11)

По данным таблицы № 4 вычислим дисперсию адекватности для данного случая:

=0,398(8-5)=0,133

Таблица №4
№ оп.	Yср	Yр	Yр-Yср	(Yр-Yср)2
1	3,75	3,781	0,031	0,001
2	-0,50	-0,219	0,281	0,079
3	2,25	2,281	0,031	0,001
4	2,75	2,406	-0,344	0,118
5	2,75	3,031	0,281	0,079
6	-1,00	-0,969	0,031	0,001
7	0,75	0,406	-0,344	0,118
8	0,50	0,531	0,031	0,001
				0,398

Для проверки гипотезы адекватности данной модели найдем значение критерия Фишера:

F= 0,133/0,107=1,24

При числе степеней свободы N-s=8-5=3 и N*(m-1)=8*(2-1)=8 (табл. II, Приложение) имеем F< F_Т= 1,82<4,07

Следовательно, гипотеза об адекватности модели и в данном случае не отвергается.

Описанная модель процесса позволяет определить оптимальные условия его протекания. На основании априорных сведений известно, что наиболее качественные показатели процесса получались при х₁ = 0,21,0; х₂ = 0,331,0; х₃ = 0,331,2.

Исходя из требований практики достаточно исследовать уравнения для температур 50, 55, 60 ⁰С, т.е. при х₂ = 0,33; 0,66 и 1,0.

Поочередно подставив указанные значения х₂ в уравнение регрессии и положив Y=0, что соответствует оптимальному протеканию процесса имеем:

х₂ = 0,33; 0,625 х₁ + 0,749 х₃ = 1,406 (12)

х₂ = 0,66; 0,286 х₁ + 0,841 х₃ = 1,406 (13)

х₂ = 1,0 0,063 х₁ - 0,937 х₃ = -1,406 (14)

Из уравнений (13) и (14) следует, что даже при х₁ =  1 имеем х₃ > 1,2, т.е. фактор х₃ выходит за заданный интервал. Поэтому для определения оптимальных условий работы можно воспользоваться только уравнением (12).

Приняв х₁ = 1, получим х₃ = (1,406-0,625)/0,749 = 1,04.

Найдем натуральные значения факторов:

Х_i = x_i * I_i + Х_ср (14)

Выводы. Оптимальные параметры процесса следующие (в табл.):

Плотность тока, А/м2	Температура, 0С	Концетрация, кг/м3
X1	X2	X3
80	50	1,01