2. Определение закона движения системы

Дифференциальное уравнение движения механической системы:

(2.1)

где

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (2.1). Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения складывается из общего решения однородного уравнения S_OD и частного решения неоднородного S_ч: S = S_OD+ S_ч . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Х² + 2∙n∙х + к² = 0,

отсюда получаем: .

Так как n<k решение однородного уравнения имеет вид:

где ; .

Частное решение дифференциального уравнения (2.1) ищем в виде правой части:

(2.2)

где ; .

Подставляя (2.2) в (2.1), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных B₁ и B₂:

,

Решая эту систему, получаем следующие выражения:

; ;

; ;

; ;

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде:

Постоянные интегрирования А_о и а_о определяются из начальных условий, при t = 0 имеем:

,

Решая эту систему, получаем:

Закон движения системы имеет вид:

3. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 3) Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения

Тело 1: ,

Проекции на ось S:

Тело 2:

проекции на ось : , так как m₂=0, то

, , так как , то

Тело 3: ,

проекции на ось х3: ,

проекции на ось y3: ,

, .

Тело 4: ,

проекции на ось х4: ,

проекции на ось У4:

,

C учетом кинематических соотношений (1.3) полученную систему уравнений преобразуем к виду:

Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа даламбера-лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:

где – сумма элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы; – сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4). Идеальные связи , , и не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем:

Найдем возможную работу сил инерции:

Запишем выражения для главных векторов и главных моментов сил инерции:

Используя кинематические соотношения (1,3), можно записать:

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

или

где

Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в общее уравнение динамики (4.1), получаем: Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение колебаний системы:

где

Начальное условие движения при t=0: S= =0,05 м и = =0