Вікторина 10-11 класи

1. За свідченням істориків, на могилі грецького математика Діо- фанта (III ст. н. є.) написано: "Перехожий! Під цим каменем поховано Діофанта, який помер після довгого і славного життя. Числа чудовим способом можуть розповісти тобі, який довгий був його вік. Одна шос­ та частина його життя минула в дитинстві, потім ще одна дванадця­ та - юнацтві. Минула ще одна сьома частина його життя, і Діофант одружився. Через п'ять років після цього в нього народився син, яко­ му, па жаль, довелося прожити лише половину років життя свого бать­ ка. Втративши сина, ще чотири роки прожив Діофант у великій журбі, знаходячи втіху лише у вивченні науки про числа. Скажи тепер мені, якщо вмієш рахувати, скільки років було Діофанту, коли він помер?"

Розв'язання. Позначивши число років, які прожив Діофант, через х, дістанемо:

1 1 1 _ 1

— х+ — Х + —Х + 5 + —Х + 4 = х. х = 84 6 12 7 2

2. Знайдіть ціле двоцифрове число, яке в 9 разів більше від числа його одиниць.

Розв'язання. Нехай дане число буде Юх 4- у. Тоді за умовою задачі

8у 4

Юх + у = 9у, звідки х = — = —у. Оскільки х і у повинні бути за 10, але

10 5

більшими за нуль або дорівнювати (не одночасно) нулю і, крім того, бути цілим, то для х може бути лише одне значення: х = 4 при у = 5.

3. Дано рівняння:

_а*-Р _+ЬЧ= Р) _+С³<*-Р> +... + £«<*-*» _=п

а Ф 0, Ь ф0, ..., к*0. Назвіть, не розв'язуючи, один з коренів цього рівняння.

Відповідь. Якщо число членів лівої частини рівняння дорівнює п, то х = р є одним з кореній рівняння. Обчисліть: З¹"^'-'-¹.

д1<«з2 2

Розв'язання. 3^1овз² ' = = —.

З З

5. Знайдіть 1о£_Г)(—5).'

Відповідь. При додатній основі від'ємні числа не мають логарифмів.

6. Довести, що при довільних додатних значеннях а, Ь (а, Ь ■*■ 1) справджується така рівність:

1 1 1 1 1 _.

1 + 1- 1- ——- - 51о£ а.

1О£_аЬ ІО£_а,Ь ]о£_а,Ь ІО£_а4Ь ІО£_а3Ь

Доведення. Додавши почленно рівності = 1о£„а, = 1о£,а² = 2\о%_ьа, -—— = 1о£_ьа³ = 31о£_ьа,

= Іо^а⁴ = 41о£„а, - = Іо^а⁵ = 51о£_ьа,

1о£_а,6 іое^Ь

матимемо потрібну нам рівність.

7. Виноградар має 12 пінт вина і бажає подарувати з нього полови­ ну, але в нього немає посудини на 6 пінт. У нього є дві посудини: одна на 8, а друга на 5 пінт. Чи може він палити б пінт у посудину на 8 пінт?

Розв'язання. Можливий порядок переливання вина подано у виг­ляді таких схем:

12 8 5

12 0 0

7. 0 5 0 7 5 0 8 4

8. 0 4 8 4 0 З 4 5 З 8 1 11 0 1 11 1 0 б 15 6 6 0

8. Один чоловік сказав своєму другові: "Дай мені 100 рупій, і я буду вдвічі багатшим за тебе", на що той відповів: "Якщо ти мені даси лише 10 рупій, я стану в шість разів багатшим за тебе". Скільки рупій було в кожного?

Розв'язання. Якщо в першого було х рупій, а в другого у рупій, то х + 100 = 2(у - 100) у + 10 = 6(х - 10). Звідси х = 40; у = 170.

Вівторок день екскурсій в історію математики

1. Із життя видатних математиків (повідомлення учнів)

2. Зустрічі з викладачами навчальних закладів II і III рів­ нів акредитації

ЕВКЛІД

Ім'я Евкліда назавжди пов'язане з одним із розділів математики, що дістав назву "Евклідова геометрія".

Така слава закріпилася за Евклідом заслужено, завдяки його праці "Начала". В школах усього світу багато століть геометрію вивчали за "Началами" Евкліда. В англійських школах донині підручник з гео­метрії за своєю формою нагадує цей учений трактат. У світовій літера­турі "Начала" є однією з найпопулярніпіих і визнаних математичних праць.

Незважаючи на велику популярність Евкліда як автора "Начал", про нього і його життєвий шлях відомо дуже мало. Немає історично-достовірних відомостей про його життя, невідомі навіть точні дати його народження та смерті. За відомостями, залишеними Проклом (410-485) (автором коментарів до "Начал"), діяльність Евкліда припадає на час правління Птоломея Сомера І (305-282 рр. до н. є.) За царювання Птоломея столиця Єгипту Олександрія стала центром наукового та культурного життя і приваблювала до себе багатьох видатних учених. У знаменитій на той час Олександрійській школі працювали відомі математичні світила. Серед них Евклід, один з перших її викладачів.

Існують думки, що Евклід був вихователем Платонівської академії, де, маючи доступ до найліпших праць грецьких математиків і філо­софів, досяг висот тогочасних наукових знань. Справді, праці Евкліда носять ознаки захоплення платонівською філософією: Евклід, напри­клад, у своїх трактатах обминає проблеми практичного порядку. Відо-