Істинні формули і еквівалентні відношення.

При інтерпретації формул логіки предикатів можливі три випадки.

1. Якщо в області М для формули F існує такий набір аргументів при якому вона істинна, то функція F являється виконаною. Тобто, якщо на множині М тобто F(x_i)=1, для х_і  М, то говорять, що F реалізується на М.

2. Якщо формула F на множині М виконується при довільному наборі аргументів, то вона тотожно істинна на М, тобто .

3. Якщо F не виконується ні для жодного набору змінних х_іМ, то вона є тотожно хибною на М.

Наприклад. Формули для х,уМ та формула , для довільних «х»М є тотожно істинними.

Нагадаємо, що формули називаються еквівалентними, якщо при підстановці в кожну з них довільного набору значень аргументів вони (формули) приймають однакові значення.

Велика множина співвідношень є еквівалентними. Тому є дуже важливим дослідження властивостей предикатів.

При дослідженні виникають дві проблеми:

1. отримання істинних формул.

2. перевірка формул на істинність.

В теорії висловлювань отримання істинних формул і їх перевірка на істинність може бути здійснена з допомогою прямого обчислення таблиць істинності.

В теорії предикатів виконання цієї процедури значно ускладнюється із-за величезного числа змінних (як предметних та і предикатних). Окрім того, в загальному випадку, область визначення формули може бути необмежена. Тому прямий перебір невідомих в такому випадку недопустимий.

Наведемо приклад еквівалентних співвідношень

 .

Перевіримо істинність даного виразу. Нехай для деякого предиката “р” визначеного на множині М ліва частина істинна, тоді не існує аМ для якого р(х) істина, тоді р(х) – хибне. Тобто - істинне. Права частина співвідношення твердить, що для всіх хМ, - істинне. І права частина істинна. Тобто і ліва частина і права мають однакові істиностні значення.

Нехай ліва частина хибна. Тоді існує аМ, для якого р(х) – істинне, тоді твердження, що х - є помилковим. Тобто права та ліва частина виразу еквівалентні.

Аналогічно доводиться, що  (самостійно).

Дистрибутивність квантора загальності х відносно кон’юнкції і квантора існування х відносно диз’юнкції.

Доведемо дистрибутивність х відносно кон’юнкції, тобто 

Нехай ліва частина істинна. Тоді для довільного аМ є , тому р₁(а) та р₂(а) істинні. Тому вираз - істинний.

Нехай ліва частина хибна. Тоді для деякого аМ або р₁(а) або р₂(а) – хибні. Тоді хибним є висловлення або х р₁(х) або р₂(х), а отже є хибним . Що і треба довести.

Аналогічно доводиться співвідношення

 (самостійно).

Якщо ж квантори загальності х та існування х поміняти місцями, то твердження виконується лише в один бік. Тобто істинним є твердження





В даному випадку говорять, що ліва частина твердження сильніша за праву, оскільки вимагає для свого виконання більш жорстких умов.

Без доведень випишемо кілька співвідношень

ху р(х,у) ух р(х,у)

ху р(х,у) ух р(х,у)

Перестановка різних кванторів х та х не являється еквівалентністю.

Якщо Y – змінне висловлювання або формула, що не пов’язана з «х», тоді виконуються співвідношення









Тобто змінні, що не містять х можна винести за область дії квантора, який зв’язує змінну «х».

41