Алгебра предикатів

Означення: Предикатом від «n» змінних (n – містким предикатом) х₁,..,х_n називається вираз р(х₁,..,х_n), який стає висловленням при підстановці змінних х₁,..,х_n їх значень із множин ₁, ₂, .. _n відповідно.

Отже предикат р(х₁,..,х_n) – це функція, визначена на декартовому добутку множин ₁ ₂ .. _n , область значень якої є висловленням.

Множина ₁ ₂ .. _n - називається областю визначення предикатних змінних, або предикатною областю.

Приклади предикатів

р(х)= “x- просте число” хN; - цілі

q(x,y)= “x<y” x, yRR раціональні числа.

Довільний «n» - місткий предикат можна розглядати як одномісткий предикат, визначений на множині =₁ ₂ .. _n.

Аргументом такого предикату буде впорядкована «n» вибірка.

Оскільки при конкретних значеннях аргументів предикат перетворюється у висловлення, то для нього можна застосовувати операції заперечення, кон’юнкції, диз‘юнкції, імплікації, еквівалентності, стрілку Пірса, та штрих Шиффера.

Крім операцій , , ,,, будемо розглядати дві нові операції, які характерні для предикатів.

Нехай р(х) – предикат, визначений на множині . Висловлення: «Для всіх х з , р(х) істинний» позначається х р(х). (Множина  не входить у визначення але зрозуміла з контексту).

Знак  - називається квантором загальності.

Запис х р(х) означає, що коли М обмежена (М= {a₁..a_n}), то xр(x) .

Висловлення: «Існує таке х із , що р(х) істинне» позначається  х р(х). Знак  - називається квантором існування. Для скінченної множини М= {a₁..a_n} визначено

хр(х)  .

Перехід від р(х) до х р(х) та  х р(х) називається зв’язуванням змінної х або ж навішуванням квантора (,) на змінну х або на предикат р(х). Змінна, на яку навішено квантор називається зв’язаною, незв’язана змінна називається вільною.

Вільна змінна приймає довільні істинності значення із М. Якщо вираз р(х) – змінне висловлення, яке визначається х, то вирази х р(х),  х р(х) не залежить від х і при заданих р(x) і М мають цілком визначенні істинності значення. При застосування кванторів виникають закони де Моргана:

(1)

( 2)

Однакові квантори можна переставляти місцями

у р(х,у)у х р(х,у)

у р(х,у)у х р(х,у)

Перестановка різних кванторів  та  не є еквівалентною операцією.

За допомогою предикатів, їх алгебри, операцій квантування (навішування кванторів на змінні) може бути формалізована мова математичних означень, тверджень та доведень.

Відмітимо, що предикат представляється двохзначною функцію, адже після підстановки конкретних значень p,q,r…М, він може приймати лише два значення "0" та "1", як висловлення.

Приклад: в програмуванні, при організації циклів, часто необхідно завершити цикл коли або х=у бо ж кількість циклів досягла наприклад 100.

Тоді, якщо «і» лічильник, то висловлювання по завершенню циклу виглядає так (х=у) (і>100) або так: цикл повторювати поки .

Приклад.

Висловлення у(х) (ху) твердить, що для довільного “y” існує “x”, який не перевищує “y “. Це висловлення істинне(=1) для довільної не порожньої числової множини.

Відмітимо, що перестановка кванторів матиме зовсім інший зміст ху (ху) це означає, що існує “х” такий, що для усіх “у” реалізується (ху) це не вірно, висловлення хибне. Тобто переставляти квантори не можна.