Істинні і фіктивні змінні

Якщо задана функція f(x₁, x₂,.. x_k-1, x_k, x_k+1,.. x_n), то істинноносне значення (виразу) залежить від конкретного набору змінних, але не завжди.

Змінна x_k є фіктивною (не істинною) тоді, коли

Якщо заміна значення висловлення х_k приводить до інших значень функції, то змінна х_k є істотною. Зрозуміло, що неістотні змінні з виразів можна виключати, що приводить до зменшення кількості аргументів функції, зменшує таблицю істинності і спрощує її аналіз.

Додавання по модулю 2

Позначається Х₁Х₂, або Х₁Х₂, Х₁ Х₂,Таблиця істинності

Х1	Х2	Х1Х2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

З точки зору звичайних чисел, додавання по модулю «2» є залишок від цілочисельного ділення числа Х₁+Х₂ на 2. Наприклад Х₁=100; Х2=101; Х₁+Х₂=1001, тоді Х₁ Х₂=1. Залишком є 1.

В дискретній математиці вводять також операцію додавання  по модулю Р та множення по модулю Р наступним чином аb= c; а b= d, де с та d – залишки від ділення чисел а+b та а*b на число Р. Наприклад якщо р=7, то залишком від ділення можуть бути числа N_p ={0,1,2,3,4,5,6} |N_p|=p.

Дійсно 34=0; 3 4=5; 35=1 і т.д.

Часто операції  та визначають так: аbс(mod p); та а b= d(mod p).

Якщо р – просте число, то алгебра {N_p, , } називається кінечним полем характеристики «р».

Стрілка Пірса

Позначається Х₁Х₂. Її таблиця істинності

Х1	Х2	Х1Х2
0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	0

Це повний аналог одного з блоків мікросхеми К561ЛЕ5 (або ні , ).

Штрих Шеффера

Позначається Х₁|Х₂. Таблиця істинності

Х1	Х2	Х1|Х2
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Це повний аналог одного з блоків мікросхеми К561ЛА7 (і ні, ).

Стрілку Пірса та штрих Шеффера можна відтворити, виразити, через заперечення, імплікацію, диз’юнкцію та кон’юнкції, як і навпаки.

Суперпозиція і формули

Суперпозиція функцій f₁…f_n це функція F отримана за допомогою підстановки функцій одна в одну в якості аргументу и перейменування даного аргументу. Формулою називається вираз який описує дану суперпозицію.

Поняття суперпозиції дуже важливе в матлогіці. Нехай є множина (скінченна чи безмежна) функцій {f₁…f_n…}=. Символи стартових змінних будемо називати «0» глибини. Тобто стартові аргументи х₁…х_n… - формули «0» глибини. Формула F має глибину «к+1» тоді коли F= f_i(F₁,…,F_ni), і якщо F₁,…,Fn_i мають « к » глибину.

Формули (аргументи функції F) F₁,…,F_ni називаються підформулами F_. f_i – називаються зовнішньою або ж головною операцією формули F.

Такі назви використовуються для всіх виразів, що входять в суперпозицію. Наприклад f₁(x₁,x₂)– формула «1» глибини, f₂(f₁ (x₁,x₂))– формула «2» глибини і т.д.

Приклад: нехай f₁ – диз’юнкція f₂– кон’юнкція, f₃ – додавання по модулю 2.

Тоді:

f₃(f₁(х₁,х₂), f₂(х₁, f₃(х₁,х₂)))=(х₃ х₁) (х₁ (х₁ х₂))

Форма запису функцій, коли використовуються символи , , ,,, , дії між аргументами називається інфіксною.

Принцип обчислення значення функції при заданих значеннях аргументів.

Нехай х₁=1, х₂=1, х₃=0

Тоді:

Зрозуміло, що усі обчислення, при невеликому числі аргументів, можна представити за допомогою таблиці істинності.

Ще раз звертаємо увагу, що довільні функції матлогіки можна виразити через інші з глибиною 1 або 2. Наприклад штрих Шеффера

х₁| х₂= або ж .

Функцію “стрілка Пірса”

х₁х₂= або .

Формули, які по різному представляють одну і ту ж функцію називаються еквівалентними або ж рівносильними.

Щоб перевірити чи є дані представлення функцій еквівалентними необхідно порівняти їх таблиці істинності.

Наприклад: =

0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0

Останні два стовпці стверджують еквівалентність відповідних функцій.