Елементи матлогіки

Алгебра висловлювань

1.Поняття висловлювань

Під висловленням розуміють будь-яке твердження про яке можна сказати, що воно істинне чи хибне.

Наприклад, твердження, що 3>2 істинне, 2>3 – хибне.

Відмітимо, що довільне визначення не являється висловленням. Теореми (будь-яка) є висловленням. Наприклад, колом є замкнута крива, точки якої рівновіддалені від заданої – не є висловленням.

Висловленням є: якщо f(x) диференційована в околі Х₀, то вона неперервна.

В подальшому матлогіка не цікавиться змістом висловлень, а лише їх істинністю чи хибністю. Висловлення позначається p, q, r, s, t… Істинне висловлення приймають «1», якщо хибне «0».

Над висловленням визначені наступні операції: заперечення, диз’юнкція, кон’юнкція, імплікація, еквівалентність.

Визначення

1. Запереченням ( або p) висловлювання p є висловлювання, яке істинне, коли p – хибне і хибне, якщо p істинне.

2. Диз’юнкцією ( ) висловлювань p і q називають висловлення, яке є хибним, коли p і q хибні і істинне в інших випадках.

3. Кон’юнкція ( ) висловлювань p і q називають висловленням, коли воно є істинне лише коли при p і q – істинні, і хибне в інших випадках.

4. Імплікація висловлень p і q називають висловлення, яке є хибним лише коли p істинне а q - хибне і істинне в інших випадках.

5. Еквівалентністю висловлювань p і q називають висловлення, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли p і q мають однакові істинності значення.

Таблиця істинності

змінні	змінні	НЕ	АБО	І	ЯКЩО	Тоді і тільки тоді
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1
		Заперечення	Диз‘юнкція	Кон‘юнкція	Імплікація	Еквівалентність

Через P позначено множену усіх висловлень. На множені P визначенні: унітарна операція  і бінарні відносно яких P є замкнута ( у множені P містяться окрім окремих висловлень також результати операцій над ними). Оскільки аргументи функції та результати дії операцій належать одній і тій ж множині, то виникає алгебра логіки.

Алгебра висловлень.

Застосовуючи унітарні та бінарні дії над елементарними висловленнями можна отримати складне висловлення ; або .

Запис типу ; або називається формулою алгебри висловлень. Формули позначають великими буквами F, U, V, Y і т.д.

До формул застосовуються означення.

1. Довільні елементарні висловлення є формулами.

2. Якщо U, V – формули, то , , , ,  і т.д. також є формули.

Визначення не є формулою. Тільки умови 1 та 2 є формулами.

Функції та є еквівалентними, якщо вони приймають однакові істиностні значення при довільному наборі істинних значень аргументів. Якщо , для довільних p, q, r… то така формула є тавтологією. Використовується тавтологія для перевірки правильності роботи елементів системи.

Перетворення функцій та перевірка на їх еквівалентність здійснюється шляхом складанням відповідних таблиць істинності.

Існує інший спосіб – використати закони алгебри логіки. Кожен з них перевіряється за допомогою таблиць істинності, а потім використовується для спрощення формул.

Нагадаємо – що 0 – хибне висловлення , 1 – істинне.