Розміщення, перестановки і сполуки без повторень.

З допомогою загальних правил комбінаторики можна розв’язувати різні задачі, при цьому виникають строго певні комбінації, яким присвоєно імена: розміщення, перестановки сполучення (комбінації).

Означення.

Скінчена множина називається впорядкованою, якщо кожному її елементу ставиться у відповідність натуральне число “к”, яке означає порядковий номер елементу в множині А де де . Якщо порядок елементів неістотній, то множина називається невпорядкованою.

Розглянемо підмножини , які утворюються за слідуючим правилом:

1. Перший крок вибираємо будь-який елемент ; із множини А

2. Із множини вибираємо

3. Із множини вибираємо

4. Із множини вибираємо

Із вибраних елементів складаємо

- це буде вибірка без повторень, вона впорядкована, якщо кожному вибраному елементу множини поставити у відповідність номер. Отримали впорядковану k вибірку без повторів. А якщо елементам множини не присвоювати номери, то отримана вибірка буде невпорядкованою, тобто невпорядкована “k” вибірка без повторів.

Позначається вибірка .

Якщо ж вибірку елементів брати з повної множини A весь час, то частина елементів буде повторюватись і стане “k” вибіркою з повторенням. Природньо, що отримана вибірка може бути як впорядкованою так і невпорядкованою.

Приклад з білетами, коли білет вибраний студентом вилучається (реалізується вибірка без повторів) і коли не вилучається – вибірка з повторами.

Означення 2. Розміщення з “n” по “к” називається впорядкована “к” вибірка без повторення із множини А, для якої . Загальна кількість різних розміщень позначається .

Доведення. Переконаємось (див. кодіровку без повторень) в вірності співвідношення приведеного співвідношення.

На першому місці можна встановити один із “n” елементів множини, на другому – один із “n-1 “ елементів, що залишились.

Тому, очевидно, що - згідно правила добутку. Даний вираз можна переписати у вигляді

де ; , зручному для користування.

Означення 3. “n” перестановкою називається впорядкована n-мірна вибірка без повторень із множини А, причому . Позначається загальна кількість різних вибірок .Ясно, що будь-які n-перестановки відрізняються лише порядком елементів, і кожна вибірка містить усі елементи множини А.

Загальна кількість різних перестановок.

Зрозуміло, що бо вся сукупність різних вибірок може бути обчислена за кількістю різних розміщень із n елементів по n.

(очевидно).

Означення 4. Сполукою (або комбінацією) із “n” елементів по k називається невпорядкована “к” вибірка без повторень із множини А, для якої і .

Позначаться

Доведення. Нехай у нас n=3; k=2. Множина А= . Набір вибірок, що містять два елемени . Замітимо, що деякі вибірки містять одні і тіж елементи (підкреслені), що, без врахування порядку написання, повторюються і повинні бути вилучені.

Всього кількість різних вибірок 3.

Підрахуємо . Обчислена різними методами загальна кількість дає однаковий результат.

Доведемо справедливість формули для випадку . Для цього розіб’ємо всі можливі розміщення на класи. В рамках одного класу розміщення відрізняться лише перестановкою елементів. Різні класи відрізняються хоча б одним елементом. Тоді кожному класу відповідає лише одна сполука (число класів рівня ). Тоді, якщо виконати у вибірці усі можливі перестановки, їх к!, одержимо усі розміщення цього класу.

Тобто Це підтверджує вірність формули. Ясно, що число сполук які не містять жодного елементу буде лише одна комбінація і вибірка