3. Упругие свойства анизотропного твердого тела

При механическом воздействии твердое тело подвергается деформации. Силу под действием которой происходит деформация называют напряжением¹. Всего имеется 9 компонент напряжения, однако независимыми является только шесть компонент.

Закон Гука утверждает, что если деформации твердого тела достаточно малы, то они пропорциональны механическим напряжениям, т.е. компоненты деформации являются линейными функциями компонент напряжения:

e_xx = S₁₁X_x + S₁₂Y_y +S₁₃Z_z + S₁₄Y_z + S₁₅Z_x + S₁₆X_y, (23)

…. Всего 6 уравнений.

С другой стороны компоненты напряжений являются линейными функциями компонент деформации:

X_x = C₁₁e_xx + C₁₂e_yy +C₁₃e_zz + C₁₄e_yz + C₁₅e_zx + C₁₆e_xy, (24)

…. Всего 6 уравнений.

Величины S₁₁, S₁₂,… называются постоянными упругой податливости, или упругими постоянными; величины С₁₁, С₁₂,… называются постоянными упругой жесткости или модулями упругости.

Если на элемент объема кристалла действует сила, то уравнение движения для смещения в направлении х:

(25)

Здесь ρ – плотность, а u – компонента вектора смещения.

Как видно из приведенных уравнений (23) и (24) в уравнение движения (25) войдут упругие константы S_ij или С_ij.

Решение уравнения (25) можно получить для плоской волны (5).

Очевидно, что уравнения (23), (24) и (25) в зависимости от симметрии кристалла и направления распространения волны будут иметь различное число слагаемых. В анизотропных средах, которые могут обладать в общем случае 21 независимой упругой постоянной, могут существовать в данном направлении нормали к фронту волны, три различных вектора смещения, каждый из которых связан с характерной скоростью плоской волны. Из трех волн одна аналогична продольной волне, две – поперечным волнам для случая изотропного тела.

Решая эти уравнения можно получить выражения для скорости продольных и поперечных волн. Экспериментально можно определить скорость соответствующих трех волн и из этих данных найти упругие константы.

Например, для кубического кристалла скорость продольной волны в направлении [111] равна

v_l = [1/₃(C₁₁ + 2C₁₂ + 4C₄₄)/ρ]^1/2.

Скорость поперечной волны при тех же условиях равна

v₂ = [1/₃(C₁₁ – C₁₂ + C₄₄)/ρ]^1/2.

Тогда как в направлении [100] скорость продольной и поперечных волн соответственно равны

v₁ = (C₁₁/ρ)^1/2 и v₂ = (C₄₄/ρ)^1/2.

Постоянные упругой жесткости С_ij являются важными характеристиками вещества и их экспериментальное определение или теоретический расчет является актуальной задачей. Как видно из поведенных выражений для определения упругих констант необходимо в кристалле измерить скорость распространения звуковых волн в разных кристаллографических направлениях. При это требуется возбудить в веществе как продольные так и поперечные волны.

4. Измерение скорости звука в твердых телах

Для генерации звуковых волн можно воспользоваться свойством пьезоэлектриков изменять свои размеры при наложении электрического поля. Для это применяются пьезоэлектрические преобразователи электрического поля в механические колебания. Простейший преобразователь представляет собой тонкую пластинку ( < 0.5 мм) из поляризованного пьезоэлектрика. Для подачи на пьезоэлектрик электрического поля на пластинку наносят электроды, которые вместе с диэлектриком пьезоэлектрика образуют плоский конденсатор.

В качестве излучателей ультразвука могут использоваться также цилиндры из пьезоэлектрика, здесь электроны нанесены на боковые поверхности цилиндров, а также толстые пластины. В последнем случае толстые пластины применяются для генерации мощных импульсов ультразвука, например для гидролокации. Другим методом получения ультразвука является основанный на магнитострикции преобразователи магнитной энергии в механические колебания с использование ферромагнитных материалов, например металлического никеля. Однако пьезоэлектрические источники ультразвука имеют ряд преимуществ перед магнитострикционными преобразователями и чаще используются на практике.

Как отмечалось в лабораторной работе №4 пластика пьезоизлучателя имеет собственные частоты механических колебаний. При совпадении частоты радиочастотного поля с частотой механического колебания пластинки возникает явление резонанса. Возбудить механические колебания в пьезоизлучателе можно путем подачи на него короткого электрического импульса. Поскольку добротность пьезоэлектрического элемента как механической системы достаточно велика, то при воздействии импульсного электрического поля в таком пьезоизлучателе возникают слабо затухающие колебания. Если пластинка приведена в акустический контакт с некой средой, то колеблющаяся пластинка возбуждает в образце ультразвуковые волны. Частота этих волн равна частоте собственных колебаний пьезоэлемента. Однако вследствие наличия затухания в системе колеблющейся пластинки, которая отдает мощность в окружающую среду, в образец излучается некий достаточно короткий цуг ультразвуковых колебаний.

Импульс ультразвуковых колебаний проходит от излучателя до задней стенки образца за время t` = l/v, где l – длина образца в направлении распространения ультразвуковой волны, v – скорость звука в образце. Достигнув задней стенки ультразвуковая волна частично отражается обратно в образец (рис. 1), а частично преломляется и рассеивается вне образца. Отраженное волна в виде ультразвукового эха преодолевает толщины образца за точно такое же время t`. Достигнув передней стенки колебания образца, вызывают колебания пьезоэемента, что в свою очередь приводит к наведению на обкладках пьезодатчика колебаний электрических зарядов вследствие обратного пьезоэффекта. Возникающие на обкладках пьезодатчика импульсы напряжения усиливаются и поступают на электронный осциллограф.

Н а экране осциллографа наблюдается пульс, отстоящий от возбуждающего импульса на интервал времени 2 t`. Однако процесс распространения ультразвуковой волны в образце на этом не заканчивается. Ультразвуковой импульс, достигнув передней стенки образца и вызвав колебания пьезодатчика отражается обратно во внутрь образца. Это импульс повторно достигает задней стенки и вновь возвращается обратно. В результате много кратного прохождения сигнал сквозь образец на осциллографе будет наблюдаться серия сигналов эха (рис. 2), амплитуда которых будет постепенно уменьшаться. Уменьшение амплитуды сигналов эха связано как с непосредственным затуханием звука в веществе, так и рассеянием акустической волны при отражении от стенок образца. Проведя измерения времени между сигналами эха можно непосредственно определить скорость звука в данном направлении кристалла.

Поскольку интервал между сигналами эха t = 2t`, то

v = 2l/t (26)

В монокристаллах скорость звука может зависеть от направления распространения в кристалле. Для более детального исследования твердых тел необходимо измерить скорость прохождения продольных поперечных волн в кристалле. Для возбуждения определенного типа волн используют специально изготовленные пьезоэлементы. Например, такие пьезоэлементы можно изготовить из кварца, вырезав пластинки кварца вдоль разных направлений в кристалле. Измерив скорость распространения различных типов волн можно найти упругие постоянные С₁₁, С₁₂, С₄₄ в кристалле. При таких измерениях используют один и тот же образец и одно направление распространения волны, но срез и установка излучателей должна быть различной, чтобы обеспечить заданное направление колебаний атомов образца.

Измеренная таким образом скорость ультразвука является групповой скоростью волн, которая, вообще говоря, отлична от их фазовой скорости, о которой мы говорили до сих пор. При отсутствии дисперсии (дисперсией называется зависимость фазовой скорости распространения волн от их частоты) эти две скорости равны друг другу.

Затухание ультразвука определяется по уменьшению интенсивности ультразвуковой волны. Существуют различные способы измерения коэффициента затухания импульсным методом. В жидкостях и газах удобно изменять длину пробега волны, увеличивая или уменьшая расстояние между излучателем и рефлектором. Сравнивая величину отраженных импульсов на экране осциллографа при двух фиксированных расстояниях, нетрудно определить коэффициент затухания  по формуле

(27)

следующей из (20).

Преимущество описываемого метода - заключается в том, что результаты измерений не зависят от коэффициента отражения волн от задней стенки.

Другой способ измерения коэффициента затухания основан на исследовании последовательных отражений ультразвука от передней и задней стенки образца. Отражающими поверхностями в твердом теле могут служить его свободные концы. Расстояние, проходимое ультразвуковым импульсом между двумя последовательными возвращениями к излучателю, равно 2l, где l - длина тела. Расчетная формула в этом случае приобретает вид

(26)

Ослабление звука, связанное с неполным его отражением от концов образца, в этом случае не исключается и входит в ошибку измерений.