5.7.Прогнозирование. Доверительный интервал прогноза.

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х=140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ(х)= –0,974 + 0,01924140=1,72 млрд. руб.

Доверительный интервал для прогностического значения у(х)= ₀+₁х определяется по формуле

, (16)

где t_p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р. Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (16).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t_0.05(6)=2,447.

= 0,008=0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 – 2,4470,048<y(x)<1,72+2,4470,048, или 1,60<y(x)<1,84.

6 . Временные ряды.

6.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей.

Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов.

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

у_t=f(t,х_t)+_t, t=1,…,Т,

г де у_t – значения временного ряда; f(t,х_t) – детерминированная составляющая; х_t – значения факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t; _t – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше.

Действительно, в этом случае

у_t=₀+₁ ₁(t) +₂ ₂(t) +…+_m _m( t)+_t, t=1,…,Т. (28)

В частном случае,

у_t=₀+₁t¹ +₂t² +…+_mt^m + _t, t=1,…,Т. (29)

Детерминированная составляющая в свою очередь представляется тремя составляющими.

Долговременная эволюторно изменяющаяся составляющая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению экономического показателя. Так, в результате научно-технического прогресса, совершенствования системы управления производством показатели эффективности производства растут, а удельные расходы на единицу полезного эффекта снижаются.

Долговременная циклическая составляющая проявляется на протяжении длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием или циклически изменяющихся во времени. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Сезонная циклическая составляющая легко просматривается в колебаниях продуктивности сельскохозяйственных животных, а также в колебаниях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Многие исследователи первую составляющую называют трендом, другие трендом называют все три составляющие.

Эволюторно изменяющуюся долговременную составляющую во многих практических случаях представляют в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические составляющие представляются тригонометрическими трендами.

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые мы рассматривали выше:

• линейный тренд: ŷ_t=b+ at;

• гипербола: ŷ_t= b+a/t;

• экспоненциальный тренд: ŷ_t= е ^b+at (или ŷ_t=ba^t);

• тренд в форме степенной функции ŷ_t= bt^a;

• полином порядка m: ŷ_t= b + a₁t + a₂t² +…+ a_mt^m.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t. Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Пример 6. Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы в РФ за 10 месяцев 2004 г. в процентах к уровню декабря 2003г. (табл. 10). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Таблица 10

месяц	1	2	3	4	5	6	7		8		9		10
Темп роста з/платы	82,3	87,3	99,4	104,8	107,2	121,6		118,6		114,1		123,0		127,3

Определим параметры основных видов тренда. Результаты этих расчетов представлены в табл. 11.

Таблица 11

Тип тренда	уравнение	R2
Линейный	ŷt= 82,66 + 4,72t	0,887
Парабола	ŷt= 72,9 + 9,599t – 0,444t2	0,937
Степенной	lnŷt= 4,39 + 0,193lnt	0.939
Экспоненциальный	lnŷt= 4.43 + 0.045t	0.872
Гиперболический	ŷt= 122.57 – 47.63/t	0.758

Наилучшей является степенная форма тренда, которая в исходном виде (после потенцирования) примет следующий вид

ŷ_t= е^4.39 t^0,193

или ŷ_t= 80,32t^0,193.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Применительно к примеру 6 можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом 4,72%.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

е^a– средний за период коэффициент роста ряда.

В примере 6 уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷ_t= е^4.43 е^0,045t

или ŷ_t= 83,96е^0,045t.

Следовательно, можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 83,96% со средним за месяц темпом роста, равным е^0,045= 1,046.