3.4. Описание связей между макроэкономическими переменными.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам

Э _ŷх1(х2) = а₁х₁ / у; Э _ŷх2(х1)= а₂х₂ / у. (14)

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если изменить один из факторных признаков на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 3 Э_ŷх1(х2)=0,06815·6080,5/1313,9=0,315; Э_ŷх2(х1)=380.47·3,1/1313,9=0,898. Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,315 процента, а увеличение на один процент (условно) размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к росту расходов на питание на 0,898 процента.

Пример 4. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

N	Квартплата, руб.	Площадь квартиры, м2	Количество человек
	y	x1	x2
1	244,19	46,0	3
2	450,50	80,2	3
3	199,86	43,8	1
4	192,00	48,9	2
5	98,50	12,0	1
6	356,59	59,8	3
7	381,54	51,9	4
8	118,48	18,0	2
9	324,40	53,8	3
10	182,50	16,0	3
	=254,86	1=43,04	2=2,5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ=а₀+а₁x₁+а₂x₂. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 5.

Таблица 5

N	yx1	yx2	x12	x22	x1x2
1	11232,74	732,57	2116	9	138
2	36130,1	1351,5	6432,04	9	240,6
3	8753,87	199,86	1918,44	1	43,8
4	9388,8	384	2391,21	4	97,8
5	1182	98,5	144	1	12,0
6	21324,08	1069,77	3576,04	9	179,4
7	19801,93	1526,16	2693,01	16	207,6
8	2132,64	236,96	324	4	36
9	17452,72	973,2	2894,44	9	161,4
10	2920	547,5	256	9	48,0
	1=13031,9	2=712	=2274,58	=7,1	х1х 2=116,46

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а ₀+ ₁a₁+ ₂a₂ =

₁а₀+ a₁+ х₁х ₂a₂ = ₁

₂а₀+ х₁х ₂a₁+ a₂ = _2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

П одставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а₀+43,04 a₁+2,5 a₂ = 254,86

43,04 а₀+2274,58 a₁+116,46 a₂ = 13031,89

2,5 а₀+116,46 a₁+7,1 a₂ = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ =

1 43,04 2,5

43,04 2274,58 116,46

2,5 116,46 7,1

= 1

2274,58 116,46

116,46 7,1

- 43,04

43,04 2,5

116,46 7,1

+ 2,5

43,04 2,5

2274,58 116,46

=1×(16149,518-13562,93)-43,04×(305,58-291,1)+2,5×

×(5012,44–5686,45)=2586,586 – 621,07 – 1685,025=280,49.

Получили, что ∆=280,49≠0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

∆а₀ ∆а₁ ∆а₂

а₀ = , а₁ = , а₂ = .

∆ ∆ ∆

∆а0 =

254,86 13031,89 712

43,04 2274,58 116,46

2,5 116,46 7,1

= 254,86

2274,58 116,46

116,46 7,1

– 43,04×

13031,89 712

116,46 7,1

+ 2,5

13031,89 712

2274,58 116,46

= 254,86×(16149,52-13562,93)-

- 43,04×(92526,42–82919,52) + 2,5×(1517693,9–1619500,96) = 659218,33 –

– 413480,98–254515,25= –8777,9.

∆а1=

1 43,04 2,5

254,86 13031,89 712

2,5 116,46 7,1

=1

13031,89 712

116,46 7,1

– 254,86

43,04 2,5

116,46 7,1

+ 2,5

43,04 2,5

13031,89 712

=1×(92526,42–82919,52)–254,86×(305,58–291,15)+2,5×

×(30644,48–32579,72)=9606,9–3677,63–4838,1=1091,2.

∆а2=

1 43,04 2,5

43,04 2274,58 116,46

254,86 13031,89 712

= 1

2274,58 116,46

13031,89 712

– 43,04×

43,04 2,5

13031,89 712

+ 254,86

43,04 2,5

2274,58 116,46

= 1×(1619500,96–1517693,91) –

– 43,04 ×(30644,48 – 32579,73) + 254,86 × (5012,44 –5686,45) =

=101807,05+83293,16–171778,19=13322,02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

а₀ = –8777,9/280,49= –31,3;

а₁ = 1091,2/280,49= 3,89;

а₂ = 13322,02/280,49= 47,5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ= –31,3+3,89 x₁+47,5 x_2.

Коэффициент регрессии модели а₁ =3,89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3,89 руб., а коэффициент а₂=47,5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47,5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.6).

Таблица 6.

номер	y	(y - )2	ŷ	ε=ŷ - у	ε2
1	244,19	113,85	290,14	45,9	2106,8
2	450,50	38275,01	423,1	–27,4	750,8
3	199,86	3025	186,52	–13,3	176,9
4	192,00	3951,38	253,88	61,9	3831,6
5	98,50	24448,45	62,88	–35,6	1267,4
6	356,59	10348,99	343,79	–12,8	163,8
7	381,54	16047,82	360,61	–20,9	436,8
8	118,48	18599,50	133,74	15,3	234,1
9	324,40	4835,81	320,47	–3,9	15,2
10	182,50	5235,97	173,5	–9	81
∑/n	=254,86	12488,18			906,4

Совокупный коэффициент детерминации

R² = 1 – 906,4/12488,18= 0,927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.