Приклад розв’язку задач

Приклад 1. Знайти масу фотону: а) червоних променів світла ( = 700нм); б) рентгенівських променів ( = 25пм); в) гама променів ( = 1,24пм).

Розв’язок. Енергію фотона знайдемо з рівняння

(1)

де h = 6,6210^–34 Джс – стала Планка, – частота коливань, с = 310⁸ м/с – швидкість світла.

Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді

(2)

З іншого боку, згідно рівняння Ейнштейна

(3)

У рівнянні (2) і (3) ліві частини рівні, прирівнявши праві частини рівнянь, отримаємо:

,

звідси отримаємо розрахункову формулу

.

Підставимо числові значення для відповідних промінів

а) кг;

б) кг;

в) кг.

Приклад 2. Знайти довжину хвилі де Бройля для електронів, які пройшли різницю потенціалів U₁ = 1 В, U₂ = 100 В.

Розв’язок. Пучок елементарних частинок володіє властивістю пласкої хвилі, яка розповсюджується в напрямку переміщення цих частинок. Довжина хвилі, яка відповідає цьому пучку, визначається співвідношенням де Бройля

, (1)

де – швидкість частинки, – маса електрона, – кінетична енергія.

Якщо швидкість частинки порівняна зі швидкістю світла, тоді треба врахувати релятивістське збільшення маси, тоді рівняння (1) має вигляд:

, (2)

де , – маса спокою електрону, – швидкість електрону

Якщо електрон пройде різницю потенціалів U, електрон набуває кінетичної енергії, причому

.

Звідси

. (3)

Підставимо числові значення для першого та другого випадку. Коли U₁ = 1 В, отримаємо:

,

при U₂ = 100 В, маємо:

.

В першому випадку для знаходження довжини хвилі де Бройля можна застосувати рівняння (1), в другому варіанті використаємо рівняння (2). Підставляючи числові значення для відповідних швидкостей отримаємо:

,

.

Приклад 3. Знайти найменшу і найбільшу довжини хвиль спектральних ліній водню у видимій області спектра.

Розв’язок. Довжини хвиль спектральних ліній водню для всіх серій визначаються за формулою:

. (1)

Складемо табличку зі всіх відомих серій.

k	n	Серія	Область
1	2, 3, 4…	Лаймана	ультрафіолетова
2	3, 4, 5…	Бальмера	видима
3	4, 5, 6…	Пашена	інфрачервона
4	5, 6, 7…	Брекета	інфрачервона
5	6, 7, 8…	Пфунда	інфрачервона

Таким чином, видима область спектру відповідає значенням

Так як значення n входить в знаменник рівняння (1), то найменша довжина хвилі спектральної лінії цієї серії буде при . Тоді з рівняння (1) отримаємо

,

.

Тоді як, найбільша довжина хвилі спектральної лінії буде при .

Якщо підставимо у рівняння (1) отримаємо

,

.

Приклад 4. Скільки атомів полонію розпадається за одну добу, якщо загальна кількість N атомів ізотопу, дорівнює 10⁶.

Розв’язок. Згідно закону радіоактивного розпаду число атомів, що розпадаються за час , дорівнює:

. (1)

Цю формулу можна застосовувати при умові, що

, (2)

де – період напіврозпаду. Період напіврозпаду полонію, це таблична величина ( ). Значення для періоду напіврозпаду для полонію відповідає умові (2), тоді кількість атомів, що розпалися можна визначити за формулою (1). Розрахункова формула має вигляд:

.

Підставляючи значення в розрахункову формулу, отримаємо:

.

Приклад 5. Знати енергію зв’язку E_зв ядра ізотопу літію .

Розв’язок. Енергія зв’язку ядра ізотопу визначається співвідношенням:

,

де – різниця між масою частинок, які складають ядро, і масою самого ядра. Дефект маси знайдемо за наступним рівнянням:

,

де – дефект маси ядра, – маса протона, – маса нейтрона, – маса ядра, – кількість нейтронів. Так як , де – маса ізотопу, – маса електрону. Тоді

.

Використовуючи табличні значення для відповідних мас в а.о.м.:

= 1,00783 а.о.м.

= 1,00867 а.о.м.

= 7,01600 а.о.м.

Якщо підставить числові значення, отримаємо:

Масі 1 а.о.м. відповідає енергія 931 МеВ, виходячи з цього енергія зв’язку ядра буде дорівнювати:

.

Таку енергію треба надати ядру , щоб розщепити його на нуклони.

Склад атомного ядра. Ізотопи.

1. Маси нейтральних атомів , , дорівнюють відповідно 1,00783 а.о.м., 2,01410 а.о.м., 12,0 а.о.м. Визначити маси протона, дейтрона, ядра вуглецю .

2. Скільки відсотків від маси нейтрального атома плутонію складає маса його електронної оболонки? Маса нейтрального атома плутонію дорівнює 239,05216 а.о.м.

3. Визначити радіус ядра ізотопу . Вважати, що радіус одного нуклона дорівнює r₀ = 1,4·10^–15 м.

4. Приймаючи, що атомне ядро має форму сфери, визначити середню густину ядерної речовини. Маса нуклона дорівнює 1,67·10^–27 кг.

5. Чому дорівнював би радіус Землі, якби наша планета, з усією своєю реальною масою мала б густину ядерної речовини? Маса Землі дорівнює 5,98·10²⁴ кг. Вважати, що густина ядерної речовини дорівнює 2,3·10¹⁷ кг/м³.

6. Визначити масу нейтрального атому вуглецю ¹²С і масу, яка відповідає вуглецевій одиниці маси.

7. Атомна маса елемента бора дорівнює 10,8 а.о.м. Він має два ізотопи та . Визначити їх процентний вміст.

8. Скільки ядер ізотопу вміщується в 4 г природного урану, якщо процентний вміст ізотопів урану в природній суміші складає: = 99,27%, = 0,721%, = 0,0055% ?

9. Маса нейтрального атома ізотопу літію дорівнює 7,01601 а.о.м. Визначити масу однозарядного іона літію .

10. Визначити атомні номери, масові числа і хімічні символи ядер, які отримаємо, якщо в ядрах , , протони замінимо нейтронами, а нейтрони – протонами.

Ядерні сили. Енергія зв'язку атомних ядер. Спектр енергетичних станів ядра.

11. Для того щоб ядро дейтерію об'єдналося з таким же другим ядром, перше має наблизитись до нього (спочатку нерухомого) на відстань, на який починають діяти ядерні сили притягання 2·10^–15 м. Яку найменшу енергію повинно мати перше ядро для такого зближення?

12. Визначити дефект маси ядра .

13. При утворенні ядра, яке складається з двох протонів і нейтрона, виділяється енергія 7,72 МеВ. Визначити масу нейтрального атому, що має це ядро. Який це атом?

14. Скільки енергії виділяється при утворенні одного граму гелію із протонів і нейтронів?

15. Визначити питому енергію зв'язку ядра (міцність ядра) ізотопу урану .

16. Визначити енергію зв'язку -частинки в ядрі бора .

17. Визначити найменшу енергію, яка необхідна для розділення ядра вуглецю на три однакові частинки.

18. Визначити різницю мас в збудженому та в основному станах. При переході із збудженого стану в основний берилій випромінює -квант з енергією І7,2 МеВ. Віддачею ядра знехтувати.

19. Збуджене ядро випромінює -квант з енергією 1,33 МеВ і переходить в основний стан, в якому його маса дорівнює 59,9338 а.о.м. Визначити масу збудженого ядра кобальту. Віддачею ядра знехтувати.

20. Визначити питому енергію зв’язку для ядра .

Радіоактивність

21. Впишіть в схему реакції частинки і ядра, яких не достає: а) ; б) , в) , г) .

22. Період напіврозпаду складає 1620 років. Знайти постійну розпаду .

23. За 140 діб (період напіврозпаду) розпадається половина атомів, з яких складається один грам полонію. За який час розпадається половина атомів, якщо полонію взяти два грама?

24. Скільки атомів радону розпадається за добу з 1 млн. атомів?

25. За який час розпадається 1/4 початкової кількості ядер радіоактивного нукліда, якщо період його напіврозпаду 24 години?

26. Період напіврозпаду деякого елемента за рахунок -розпаду дорівнює Т₁, а за рахунок -розпаду – Т₂. Чому дорівнює період напіврозпаду Т, якщо обидва розпади відбуваються одночасно?

27. Маса радію складає 0,1 г. Період його напіврозпаду дорівнює 1590 років. За який час розпадеться 5 мг радію?

28. На скільки відсотків зміниться маса -радіоактивного препарату за два періоди напіврозпаду. Вважати, що -частинки не поглинаються в речовині, а залишають її.

29. При випромінені -частинки полоній перетворюється в стабільний свинець. Скільки свинцю утворюється в 1 мг полонію за 280 діб?

30. Визначити об'єм, який займає в нормальних умовах гелій, що утворився при -розпаді одного грама радію протягом двох періодів напіврозпаду. Універсальна газова стала 8,31 Дж/К·моль.

Експериментальні методи реєстрації заряджених частинок

31. Електрон влетів у камеру Вільсона, яка розташована у вертикальному магнітному полі, нормально до вектора індукції поля. Початок треку електрона являє собою дугу кола радіусом З см. Знайти швидкість електрона, якщо індукція магнітного поля дорівнює 1 мТл.

32. Заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле, індукція якого 0,5 Тл і рухається по колу радіусом 10 см. Швидкість частинки 2,4·10⁶ м/с. Знайти відношення заряду до маси частинки.

33. Знайти різницю мас материнського -радіоактивного ядра вісмуту та дочірнього ядра талію , якщо максимальний радіус траєкторії -частинок у камері Вільсона, розміщеній у магнітному полі з індукцією 1 Тл дорівнює 35 см. Маса -частинки 6,64·10^–27 кг.

34. Однозарядні іони ізотопу цезію масою 133 а.о.м. розганяються в електричному полі напругою 2000 В і рухаються потім в однорідному магнітному полі мас-спектрометра. Визначити радіус кола, по якому рухаються іони, якщо індукція магнітного поля 0,25 Тл (1 а.о.м. = 1,б5·10^–27 кг).

35. -частинка рухається в камері Вільсона, яка знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 25 мТл, по колу радіусом 8,3 мм. Знайти довжину хвилі де Бройля для цієї частинки.

36. Визначити число пар однозарядних іонів, які утворені -променями в іонізаційній камери з електричною ємністю С = 0,3·10^–9 Ф, якщо різниця потенціалів між її електродами зменшилась на = 20 В.

37. Обчислити товщину шару половинного ослаблення -променів для води, якщо лінійний коефіцієнт ослаблення = 0,047 см^–1.

38. Радіус траєкторії протона в камері Вільсона, яка заповнена водяною парою, зменшився від 20 до 10 см. Скільки пар іонів утворив на своєму шляху протон, якщо камера знаходилась в однорідному магнітному полі з індукцією 1 Тл? Енергія іонізації водяної пари 33 еВ.

39. Визначити число шарів половинного ослаблення, які зменшують інтенсивність -променів у 100 разів.

40. Електрон влітає зі швидкістю 1·10⁶ м/с в камеру Вільсона перпендикулярно до ліній магнітної індукції (В = 0,5 Тл). Знайти силу, яка починає діяти на електрон.

Ядерні реакції. Енергетичний вихід ядерних реакцій

41. При бомбардуванні літію протонами виникає берилій . Яка частинка викидається у процесі цієї реакції?

42. В результаті бомбардування бора швидкими протонами у камері Вільсона одержані три однакові частинки. Які ці частинки? Записати ядерну реакцію.

43. Чому дорівнює повна енергія протона (в МеВ), кінетична енергія якого 25 ГеВ?

44. Визначити енергію реакції .

45. Під час реакції звільняється енергія 5,028 МеВ. Визначити масу нейтрального атома .

46. Визначити енергію реакції .

47. Яка енергія виділяється при утворенні атомного ядра з одного протона і двох нейтронів?

48. При бомбардуванні нерухомих ядер літію протонами з кінетичною енергією 1,7 МеВ були виявлені дві -частинки з однаковими енергіями по 9,5 МеВ. Визначити масу атома , якщо відомі маса атома – 1,00783 а.о.м. і маса атома – 4,00260 а.о.м.

49. При поглинанні -кванта з довжиною хвилі 4·10^–13 м здійснюється реакція . Визначити сумарну кінетичну енергію і сумарний імпульс частинок, які утворюються. Вважати, що до реакції ядро дейтерію не рухалось.

50. Нейтрон масою , рухається зі швидкістю . Він стикається з нерухомим ядром, маса якого . Визначити у скільки разів зменшиться кінетична енергія нейтрона. Удар вважати центральним і пружним.

Реакції поділу і синтезу ядер. Ядерна енергетика.

51. При поділі ядра урану в результаті захвату повільного нейтрона виникають уламки: ксенон-І39 і стронцій-94. Одночасно виділяється три нейтрона. Визначити енергію, яка виділяється при одному акті поділу. Яка кількість енергії звільниться, якщо розділяться всі ядра, що знаходяться в одному грамі урану-235?

52. Середньодобове споживання електричної потужності в деякому домі складає 300 Ватт. Яка маса урану-235 має поділитися, щоб задовольнити річну потребу такого будинку в енергії? Припускається, що при кожному акті поділу звільняється енергія 200 МеВ.

53. Скільки грам урану споживає урановий реактор за годину, якщо він виділяє потужність, яка дорівнює 10 000 кВт? При поділі кожного ядра урану виділяється енергія 3,2·10^–11 Дж.

54. При поділі одного ядра урану-235 виділяється енергія 200 МеВ. Яку частину енергії спокою ядра складає ця енергія?

55. Скільки ядер урану-235 повинно ділитися за 1 с, щоб теплова потужність реактора дорівнювала 1 Вт?

56. Електрична потужність уран-графітового реактора РВПК-І000 Чорнобильської АЕС дорівнює 1000 МВт. ККД реактора 31,2%. В реактор завантажується 192 тони ядерного палива. Збагачення палива ураном-235 складає 1,8%. Визначити час неперервної роботи реактора. Вважати, що при кожному акті поділу ядра урану-235 виділяється 200 МеВ енергії.

57. Скільки плутонію виробляє реактор на швидких нейтронах за місяць роботи, якщо в середньому при одному акті поділу ядра урану-235 виникає 1,5 ядра плутонію? Теплова потужність реактора І000 МВт, Вважати, що при кожному акті поділу ядра урану-235 виділяється 200 МеВ енергії.

58. Визначити енергію, яка звільняється у водневій бомбі при синтезі одного граму гелію. Найбільша енергія виділяється в реакції .

59. При протіканні реакції термоядерного синтезу виділилось 2,68·10¹³ Дж теплоти. Визначити масу ядерного палива, яке було використано при цьому.

60. Визначити, яка енергія виділяється при синтезі 0,4 г дейтерію і 0,6 г тритію.

Радіаційна дозиметрія. Біологічна дія і захист від радіоактивного випромінювання.

61. Визначити потужність дози поглинутого випромінювання, яку одержує хворий масою 70 кг при повному опромінюванні тіла кобальтовим джерелом активністю 1000 Кі, якщо на нього припадає 2% випромінювання. Середня енергія -квантів складає 1,25 МеВ. Приблизно 50% -випромінювання взаємодіє з тканинами тіла (решта випромінювання проходить через тіло и не викликає біологічного ефекту).

62. Під дією космічних променів в кожному кубічному сантиметрі повітря на рівні моря утворюється в середньому дві пари іонів за 1 с. Визначити в рентгенах експозиційну дозу випромінювання, дії якої підпадає людина за добу.

63. Потужність експозиційної дози -випромінювання на відстані 40 см від точкового джерела 1Р/хв. Скільки часу протягом робочого дня можна знаходитися на відстані 6 метрів від джерела, якщо максимально допустима експозиційна лоза за робочий день дорівнює 20 мР?

64. Кишеньковий дозиметр являє собою іонізаційну камеру, електроди якої заряджені до деякої стандартної різниці потенціалів . Іонізуюче випромінювання, попадаючи в дозиметр, розряджає електроди, внаслідок чого підключений до них електрометр показує зменшення різниці потенціалів. Скільки випромінювання (в рентгенах) поглинає дозиметр, якщо його електроди розрядились від напруги 150 В до 130 В. Об'єм іонізаційної камери дорівнює 1 см³,ємність електродів 6 пФ.

65. Дозиметр ємністю 3 пФ, зарядили до потенціалу = 180 В. Під дією опромінення потенціал у камері знизився до = 120 В. Об'єм повітря у камері = 1,8 см³. Визначити експозиційну дозу випромінювання (в рентгенах).

66. Доросла людина одержує з харчами біля 0,1 мкКі ізотопу . Скільки розпадів відбувається за одну секунду?

67. Доза поглинутого випромінювання 1 Гр від важких іонів чинить на живий організм приблизно таку ж біологічну дію, як і 20 Гр -випромінювання. Визначити коефіцієнт відносної біологічної ефективності для важких іонів.

68. Жива тканина масою 5 г поглинає 10⁸ -частинок з енергією 3 МеВ. Визначити біологічну дію поглинутого випромінювання.

69. На поверхню шкіри площею 1 см² падає нормально 10⁵ -частинок з енергією 5 МеВ. Еквівалентна доза дорівнює 37,2 бер. Визначити глибину проникання -частинок у біологічну тканину. Густину біологічної тканини вважати рівною 10³ кг/м³.

70. Яка маса стронцію може знаходитись в організмі людини масою 70 кг, щоб еквівалентна доза опромінення не перевищувала граничну допустиму 0,5 бер на рік. Середня енергія -частинок, які випромінюються при розпаді стронцію дорівнює 0.6 МеВ. Період напіврозпаду стронцію-90 дорівнює 28,8 роки.

Елементарні частинки

71. В полі важкого ядра -квант може утворити електронно-позитронну пару. Яка мінімальна частота -кванта для цього необхідна?

72. Гамма-квант з енергією 1,042 МеВ в полі важкого ядра утворює пару електрон-позитрон. Нехтуючи енергією віддачі ядра, визначити швидкості частинок, які утворились. Частинки вважати нерелятивістськими.

73. При анігіляції електрона і позитрона утворюються два однакових -кванта. Знайти довжину хвилі, нехтуючи кінетичною енергією частинок до реакції.

74. Антипротон анігілює з протоном, в результаті чого виникає три -мезона однакової енергії. Яка кінетична енергія кожного мезона? Енергія спокою мезона 140 МеВ.

75. Електрон і позитрон, які мають однакові кінетичні енергії по 0,24 МеВ, при зіткненні перетворились в два однакових фотона. Визначити енергію фотона довжину хвилі.

76. Нерухомий нейтрон зазнає -розпаду. Вважаючи, що протон, який при цьому виникає, також не рухається, визначити енергію антинейтрино. Масу антинейтрино приняти рівною нулю. Маси нейтрона, протона і електрона вважати відомими.

77. Визначити максимальну кінетичну енергію -частинок, що виникають при перетворені нейтрона на протон.

78. Знайти найменшу енергію протона, при якій він зміг би наблизитись на відстань 1·10^–14 м до ядра .

79. Маса спокою -мезона дорівнює 264 електронним масам. Визначити енергію -квантів, які утворюються при розпаді нерухомого нейтрального -мезона.

80. Ізотоп іттрій-91 випромінює -частинки з енергією 1,53 МеВ. Знайти масу іттрію-91, при розпаді якої виділиться 80 Дж теплоти, якщо вся енергія -частинок перетвориться в тепло.

Задачі з різних розділів.

81. Визначити постійну Планка, якщо відомо, що фотоелектрони, які вибиваються з поверхні деякого метала світлом з частотою 2,2·10¹⁵ Гц, повністю затримуються різницею потенціалів б,6 В, а електрони, які вибиваються світлом з частотою 4,6·10¹⁵ Гц – різницею потенціалів 16,5 В.

82. Червоній границі фотоефекта для алюмінію відповідає довжина хвилі 332 нм. Визначити довжину світлової хвилі, при якій величина затримуючого потенціалу дорівнює І В.

83. На поверхню, площа якої 100 см², за кожну хвилину падає 63 Дж світлової енергії. Знайти світловий тиск у випадках: 1) поверхня повністю відбиває всі промені; 2) повністю поглинає всі промені.

84. Світло з довжиною хвилі 662 нм падає на абсолютно чорну поверхню. Світловий тиск 0,3 мкПа. Визначити концентрацію фотонів в світлових променях.

85. Визначити відносне збільшення енергетичної світності абсолютно чорного тіла при збільшенні його температури на 1%.

86. Енергетична світність абсолютно чорного тіла 250 кВт/м². На яку довжину хвилі приходиться максимум випромінювальної здатності цього тіла?

87. Знайти довжину хвилі короткохвильової границі неперервного рентгенівського спектра, якщо відомо, що зміна напруги на рентгенівській трубці на 23 кВ збільшує шукану довжину хвилі в 2 рази.

88. Збільшення напруги на рентгенівській трубці в 2 рази викликає зміну короткохвильової границі рентгенівського спектра на 0,025 нм. Знайти початкову напругу на рентгенівській трубці.

89. Знайти квантове число , яке відповідає збудженому стану іона , якщо при переході в основний стан цей іон випромінює послідовно два фотона з довжинами хвиль 108,5 нм і 30,4 нм.

90. Яку найменшу енергію (в електронвольтах) повинні мати електрони, щоб при збудженні атомів водню ударами цих електронів спектр водню мав би три спектральні лінії? Знайти довжини хвиль цих ліній.

91. Яку найменшу енергію необхідно витратити, щоб відірвати один нейтрон від ядра азоту ?

92. В який хімічний елемент перетворився після трьох -розпадів і двох -розпадів?

93. За один рік початкова кількість радіоактивного ізотопу зменшилась в три рази. У скільки разів вона зменшиться за два роки?

94. Визначити номер та масове число частинки, яка позначена в рівнянні ядерної реакції літерою .

95. Ядро магнію викинуло позитрон і нейтрино. Визначити енергію -розпаду ядра.

96. Яка частина всіх молекул повітря при нормальних умовах іонізується рентгенівським випромінюванням при експозиційній дозі 258 мкКл/кг?

97. Повітря при нормальних умовах опромінюється -випромінюван-ням. Визначити енергію, яка поглинається повітрям масою 5 г при експозиційній дозі 258 мкКл/кг.

98. Радіоактивний ізотоп розпадається за схемою . Уран , в свою чергу, випромінює -квант з енергією 0,09 МеВ . Знайти швидкість -частинкі, яка вилітає при розпаді ядер плутонію.

99. Період напіврозпаду деякого радіоактивного нукліда дорівнює 1 годині. Визначити середню тривалість життя ядер цього нукліда.

100. Яку найменшу енергію треба витратити для того, щоб розділити ядро на дві однакові частини?