
- •Введение
- •Тема 1. Расчет (или оценка) собственных движений
- •Задания
- •Тема 2. Оценка вида вынужденных
- •Задания
- •Тема 3. Нахождения области допустимого
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Чиркова Маргарита Макаровна Сборник тестовых задач по теории автоматического управления
- •603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а
Задания
1. Записать характеристическое уравнение системы и найти корни уравнения.
2. По значениям действительной и мнимой составляющей корня определить: устойчивый или неустойчивый процесс, если процесс устойчивый, рассчитать время затухания процесса и частоту собственных колебаний. Если процесс неустойчивый, определить частоту собственных колебаний и построить первые два периода.
3. Представить график собственных движений элементов системы.
Таблица 1. Значение коэффициентов модели и начальных условий y(0) и dy(0)/dt
№ варианта |
|
|
y(0) |
dy/dt |
0 |
1 |
1,4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,9 |
–1 |
1 |
2 |
1 |
0,5 |
1 |
1 |
3 |
1 |
–1,4 |
–1 |
1 |
4 |
1 |
–0,9 |
1 |
1 |
5 |
1 |
–0,5 |
–1 |
1 |
6 |
0,1 |
1,4 |
1 |
1 |
7 |
0,1 |
0,9 |
–1 |
1 |
8 |
0,1 |
–1,4 |
1 |
1 |
9 |
0,1 |
–0,9 |
–1 |
1 |
Тема 2. Оценка вида вынужденных
движений системы (элемента системы)
Пример.
Дано: дифференциальное уравнение типового звена и нулевые начальные условия:
|
(1) |
Примечание. Входной сигнал x(t) имеет сложную форму, которую можно считать суммой единичных ступенек х1 + х2 + х3, например:
2 1 |
x1(t) |
|
x3(t)
|
В рассматриваемом примере изменения входного воздействия x(t) возникают в моменты времени t = 0 и t = 4 c.
|
|
Требуется представить качественный вид реакции звена на изменение входного сигнала: 1) оценить установившееся значение выходного сигнала; 2) определить длительность переходного процесса; 3) определить количество колебаний за время переходного процесса.
Решение.
Для линейной
системы справедлив принцип суммирования
реакций на входные воздействия, т. е.
y(t)
= y1(t)
+ y2(t),
где y1(t)
– реакция на x1,
а
на
x2.
Запишем уравнения динамики для каждого из воздействий. Допустим, звено имеет следующие параметры (причем чувствительность к воздействиям у звена разная):
;
и
.
Оценим установившееся
значение выходной координаты. Для
устойчивых линейных систем справедливо
утверждение:
Таким образом, уравнения статики (yт(t)|t→∞) примет вид
Установившееся значение выходной координаты:
.
Оценим длительность переходного процесса – реакции на каждое из воздействий. Длительность процесса (как и длительность собственных движений системы) определяется по величине реальной части корней характеристического уравнения. Таким образом, определив корни характеристического уравнения, мы сможем оценить длительность переходного процесса (tпп.) и количество колебаний за tпп. Запишем дифференциальное уравнение собственных движений, для этого приравняем правую часть уравнения (1) к нулю:
|
(2) |
Характеристическое уравнение:
|
(3) |
Корни характеристического уравнения:
Время затухания
процесса определяется реальной частью
,
а частота колебаний – мнимой частью
корня
Так
как решение уравнения (2) записывается
в виде
то
огибающая функции
C1sin(0,6
∙ t
+ С2)
определяется затухающей экспонентой
.
Если учесть, что
,
то можно оценить длительность
процесса
затухания собственных движений системы
tпп.
Это произойдет приблизительно через
4,5 с после появления отклонения y(t)
от исходного
принятого за ноль значения. Так как
второе воздействие возникло при
t
= 4 с, то к
моменту t
≈ 8,5 с переходные процессы закончатся.
Таким образом, tпп
≈ 8,5 с.
Оценим колебательность процесса. Если величина действительной части комплексного корня характеризует скорость затухания (расхождения) процесса, то величина мнимой части определяет частоту собственных колебаний – ω.
Так как реакции, как на первое, так и второе воздействия, длятся 4,5 с, то за время реакции можно наблюдать приблизительно полпериода собственных колебаний (рис. 3, 4).
x1
x2
y(t)
y1(t)
y2(t)
Рис. 3. Компоненты вынужденных движений
Общая реакция: y(t) = y1(t) + y2(t)
Рис. 4. Общий вид вынужденных движений