Тема 1. Расчет (или оценка) собственных движений

системы

Пример 1

Дано уравнение динамики (математическая модель) собственных движений системы:

. (1)

Требуется оценить вид собственных движений системы.

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

, в общем виде

Знак и величина действительной части комплексного корня характеризует скорость затухания (при Re < 0) или расхождения (при Re > 0) процесса. Величина мнимой части определяет частоту собственных колебаний. При комплексных корнях решение уравнения (1) записывается в виде

Допустим, для конкретных значений имеем следующие корни: тогда решение исходного дифференциального уравнения примет вид

(2)

Для нахождения константы С₁ используем одно из начальных условий:

y(0) = –1. Подставив t = 0 в (2), получим

.

(3)

Для нахождения С₂ воспользуемся вторым начальным условием. Для этого продифференцируем по t уравнение (2):

.

(4)

Используя начальные условия: , перейдем от (4) к (5):

.

(5)

В полученное уравнение подставим выражение (3):

или

Воспользуемся таблицей тригонометрических функций (приложение 1):

Таким образом, уравнение (2) собственного движения системы запишется в виде

.

(6)

Решение (6) можно построить по точкам, меняя t от 0 и до…..? и используя данные таблицы функций, или оценить вид процесса y(t) качественно. Проведем качественный анализ процесса. По корням характеристического уравнения можно оценить частоту или период собственных колебаний (т.к. корни имеют мнимую составляющую) и время их затухания (т.к. действительная составляющая корня – отрицательная величина).

Определим точки пересечения функции с осью времени. Примем аргумент за x, тогда

Это дает значения t = 1; 3,85; 6,6;…, т.е. период колебаний Т ≈ 5,7 c. Период колебаний можно оценить и по величине мнимой части корня:

Огибающая функции определяется затухающей экспонентой . Если учесть, что , то можно оценить длительность процесса затухания собственных движений системы – t_к. При t ≈ 6 с , следовательно, .

Рис. 1. Компоненты и общий вид собственного движения системы

Пример 2

Дано уравнение движения:

.

(1)

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

,

тогда

(2)

Воспользуемся начальными условиями:

(3)

Продифференцируем уравнение (2)

Используя начальные условия по производной, получим

(4)

Решая совместно (3) и (4), получим С₁ = –2 , С₂ = 3. Следовательно, решение дифференциального уравнения примет вид

(5)

Первая экспонента начинается в т. y = –2 и затухнет через t ≈ 1,5 c. Вторая экспонента начинается в т. y = 3 и затухнет через t ≈ 3 c.

Рис. 2. Компоненты и общий вид собственного движения системы

Для выполнения контрольной работы по первой теме в табл. 1 даны значения коэффициентов уравнения динамики собственных движений системы и начальные условия. Для всех вариантов задач уравнение динамики системы – линейное дифференциальное уравнение второго порядка (приложение 2, стр. 28).