Задача № 2.3

Задание.

Определить максимальный расчетный расход в заданном створе водотока с вероятностью превышения Р=0,33 % на основании многолетних гидрометрических измерений максимальных расходов.

Исходные данные.

Исходные данные, приведенные в табл. 2.3.1, включают значения максимальных годовых расходов воды в реке для каждого условного года наблюдений.

Таблица 2.3.1

Исходные данные

Условный год	Максимальный расход Qmax, м3/с	Условный год	Максимальный расход Qmax, м3/с
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	102+n 95+n 89+n 113+n 93+n 110+n 97+n 63+n 96+n 80+n 126+n 107+n 88+n 59+n 116+n 99+n 118+n 79+n 76+n 101+n 92+n 68+n 85+n 103+n	25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47	112+n 84+n 120+n 91+n 94+n 62+n 83+n 100+n 53+n 90+n 129+n 82+n 78+n 72+n 131+n 81+n 47+n 142+n 87+n 155+n 74+n 86+n 136+n
		Примечание: n – две последние цифры учебного шифра.

Методические указания к решению задачи 2.3

Расчетный расход воды является главной гидрологической характеристикой.

Расчетным максимальным расходом воды называют расход, на пропуск которого рассчитывают отверстия мостов. Чем больше расчетный расход, тем больше должно быть отверстие моста или трубы. Увеличение расхода вызывает повышение соответствующего ему уровня воды, а это увеличивает высоту насыпи подходов к мосту или трубе. Следовательно, повышение расчетного расхода приводит к удорожанию всего перехода.

Уменьшение расчетного расхода хотя и приводит к удешевлению перехода, но повышает вероятность повреждения или разрушения перехода водным потоком.

Превышение характеристик потока над расчетными является основной причиной, угрожающей нормальной эксплуатации большинства мостов. Такое превышение может привести к аварийным ситуациям и даже катастрофическим последствиям, вплоть до полного разрушения мостов, насыпей, дорожных труб и т. д.

Надежность работы перехода определяется не только величиной расчетного расхода, но и его повторяемостью. Если более высокие расходы встречаются редко, то можно считать, что переход, рассчитанный на этот расход, будет иметь высокую надежность на пропуск паводков. Если расходы выше расчетного встречаются часто, переход надежным считать нельзя.

Поэтому определение вероятных расходов воды в реке, в частности максимальных, принимаемых для расчета сооружений переходов через водотоки, производится методом математической статистики с учетом ряда наблюдавшихся расходов как нескольких случайных величин.

Определение расчетных гидрологических характеристик при наличии данных гидрометрических наблюдений достаточной продолжительности осуществляется непосредственно по этим данным путем применения аналитических функций распределения ежегодных вероятностей превышения.

Эмпирические кривые распределения ежегодных вероятностей превышения строятся на клетчатках вероятностей.

Основой построения кривой обеспеченности служит ряд эмпирических данных гидрометрических наблюдений за стоком воды, например, расходов воды в реке. Если распределить хронологический ряд максимальных расходов воды Q₁,Q₂,Q₃,…Q_n в убывающем прядке получим статистический ряд.

Если имеется статистический ряд наблюдавшихся расходов с числом лет наблюдений n, то может быть вычислена вероятность появления одного из них с порядковым номером m.

Эмпирическая ежегодная вероятность превышения Р_т гидрологических характеристик определяется по формуле

(3.1)

где Р (%) - обеспеченность каждого ранжированного значения ряда; m – порядковые номера членов ряда, расположенные в убывающем порядке; n – число лет наблюдений.

Полученные значения обеспеченности Р (%) наносят на график Q=f(P), где на оси ординат находятся величины среднегодовых расходов воды, а на оси абсцисс – вероятность превышения (обеспеченность) Р(%) (рис. 2.3.1).

К полученному семейству точек подбирается аналитическая кривая обеспеченности или проводится сглаженная (усредняющая) эмпирическая кривая обеспеченности. Полученная кривая Q=f(P%) называется эмпирической кривой обеспеченности максимальных расходов воды.

Кривая обеспеченности характеризует распределение расходов воды и показывает, в каком числе случаев, выраженном в процентах, из общего числа случаев, принятых за 100%, будет наблюдаться или превышена (или не превышена) данная величина среднегодового расхода.

При этом термин «вероятность превышения (обеспеченность)», например, Р=1% означает, что превышение расхода вероятно в одном случае из 100, а «вероятность превышения (обеспеченность)», например Р=99% указывает, что расход воды обеспечен в 99 случаях из 100.

Иногда в расчетах используют термин повторяемость расходов воды в зависимости от водности года, обозначаемая m.

Соотношения величин обеспеченности Р (%) и повторяемости m представлены в Приложении 2.

Кривая обеспеченности обычно характеризуется тремя параметрами: средним арифметическим значением ряда , коэффициентом вариации (изменчивости) С_V и коэффициентом асимметрии С_S. Эти параметры кривой распределения (обеспеченности) являются обычно вполне достаточными при решении гидрологических задач. С их помощью может быть установлена вероятность превышения или не превышения конкретного (заданного) значения стока (например, расхода воды).

Для вычисления величин, характеризующих кривую обеспеченности, используют методы математической статистики.

Среднее многолетнее значение расхода воды определяют по формуле

(3.2)

Коэффициент вариации С_V характеризует изменчивость ряда наблюдений и определяется по формуле

(3.3)

Коэффициент асимметрии С_S характеризует несимметричность кривой обеспеченности и определяется по формуле

(3.4)

В этих формулах – среднегодовое значение расхода воды; n – число лет гидрометрических наблюдений; k_i – модульный коэффициент года наблюдений i.

Гидрологические расчеты должны обеспечить достоверный прогноз появления тех или иных высоких расходов для проектирующегося моста или трубы в течение предстоящего многолетнего периода эксплуатации.

В качестве критерия при определении величины расчетной гидрологической характеристики для каждого вида строительства принимается ежегодная вероятность превышения (обеспеченность) этой величины, устанавливаемая нормативными документами.

Расчетные вероятности максимальных расходов для мостов и труб на железных и автомобильных дорогах приводятся в СНиП 2.05.03-84 «Мосты и трубы».

В соответствие со СНиП 2.05.03-84 вероят­ность пре­вышения макси­мальных расходов паводков для мостовых переходов на железных дорогах I и II категорий общей сети принимается:

расчетных - Р=1,0 %;

наибольших Р=0,33 %.

Порядок решения задачи.

Обработка многолетнего ряда наблюдений начинается с ранжировки ряда, т. е. он выстраивается не хронологически, а в порядке уменьшения расходов.

Расчет интегральной кривой распределения ведется в табличной форме (табл. 2.3.2).

Таблица 2.3.2

Расчет интегральной кривой распределения

Номера расходов в порядке их убывания	Максимальные годовые расходы в убывающем порядке Qi , м3/с	Вероятность превышения	Модульные коэффициенты	Отклонение модульных коэффициентов от среднего	Квадратичное отклонение модульных коэффициентов от среднего
1	2	3	4	5	6

В этой таблице m – порядковый номер расхода, n – число наблюдений, - среднее многолетнее значение максимальных расходов

.

По расходам ранжированного ряда и соответствующим им вероятностям превышения Р(%) строится эмпирическая кривая распределения ежегодных вероятностей превышения.

Эмпирическая кривая распределения строится на клетчатках вероятностей (рис. 2.3.1), где по оси ординат откладывают расходы воды, а по оси абсцисс – соответствующие им значения вероятности превышения Р(%).

Рис. 2.3.1. Эмпирическая кривая распределения ежегодных

вероятностей превышения

Рис. 2.3.2. Эмпирическая кривая распределения в модульных коэффициентах

Строится также эмпирическая кривая распределения в модульных коэффициентах, где вместо расходов на оси ординат откладывают модульные коэффициенты k_i (рис. 2.3.2).

Полученные точки соединяют плавной усредняющей кривой. Такая кривая распределения называется эмпирической.

Задачу предлагается решить двумя способами: аналитическим и графоаналитическим и сравнить полученные результаты.

Решение задачи аналитическим способом с использованием эмпирической кривой распределения.

На основании данных расчетов табл. 2.3.2 вычисляют характеристики кривой обеспеченности:

- среднее многолетнее значение максимального расхода определяют как среднеарифметическое значение максимальных расходов воды по формуле 3.2;

- коэффициент вариации (изменчивости расходов относительно их среднеарифметического значения) С_v определяют через безразмерные модульные коэффициенты по формуле 3.3;

- коэффициент асимметрии C_s, характеризующий несимметричность положения значений в ряду относительно их среднего значения, определяется по формуле 3.4.

Определяют расчетный расход заданной вероятности превышения (обеспеченности) по формуле

,

где k_p% - ордината кривой (рис. 2.3.2) для заданной вероятности превышения P=0,33%.

Решение задачи графоаналитическим методом с использованием биномиального распределения.

Используя эмпирическую кривую распределения ежегодных вероятностей превышения максимальных расходов воды (рис. 2.3.1) определяют расходы воды обеспеченностью 5, 50 и 95 %.

Вычисляют коэффициент скошенности по формуле

(20)

По коэффициенту скошенности, используя данные таблицы в приложении 2.3, находят коэффициент асимметрии максимальных расходов С_s и соответствующие ему нормированные отклонения ординат кривой обеспеченности от среднего значения при обеспеченностях 5, 50 и 95 %, т. е. Ф₅, Ф₅₀ и Ф₉₅, а также разность Ф₅ – Ф₉₅ .

Вычисляют среднее квадратичное отклонение максимальных расходов воды по формуле

(3.5)

Средний многолетний максимальный расход воды находят по выражению

(3.6)

Зная величины и определяют коэффициент вариации максимальных расходов воды

(3.7)

По найденным параметрам теоретической кривой обеспеченности C_v и С_s определяют расчетные максимальные расходы воды по выражению

(3.8)

где k_p – ордината теоретической кривой обеспеченности, определяемая по формуле

(3.9)

Здесь Ф - нормированное отклонения ординат кривой обеспеченности от среднего значения при заданной обеспеченности, определяемое по таблице в приложении 2.3.

Для рассматриваемого случая

;

.

Полученное значение максимального расхода сравнивают с полученными результатами расчета по первому способу.

Приложение 1.1

Значение кинематического коэффициента вязкости воды при различной температуре

Т, °С	0	10	20	30	40	50
ν, см2/c	0,0178	0,0131	0,0101	0,009	0,0066	0,0058

Приложение 1.2

Предельные расходы в стальных водопроводных трубах

Диаметр условного прохода D, мм	Q, л/c
100	11,7
125	16, 6
150	21,8
175	29,2
200	46,0
250	71,0

Приложение 1.3

Значения К для круглых стальных труб, подсчитанные по полной формуле академика Н. Н. Павловского при n=0,012

d, мм	50	75	100	125	150	200	250	300	350	400
К, м3/c	0,00987	0,0287	0,0614	0,114	0,1794	0,3837	0,6921	1,1206	1,6842	2,3970

Приложение 2.1