3.2 Тест на подавление возмущений
Чтобы пронаблюдать поведение частицы по градиенту плотности в стандартном SPH-методе и в GSPH, был рассчитан тест на подавление возмущений. Выбирается двухмерная рассчетная область [-Lx, Lx] x [-Ly, Ly]. Здесь Lx = Ly = π/2. Сначала частицы расположены в решетке со смещением Δх/2, а перепад плотности между верхним и нижним слоями составляет 1:2. К верхнему и нижнему слоям добавляется небольшое смещение положения ξ (ξx, ξy), соответственно:
(19)
(20)
Здесь х и у – первоначальное положение частиц (т.е. решетка). Амплитуда и волновое число смещения положения, А, устанавливаются равными 0.01 π и 2 соответственно. ξ добавляется к исходному положению, чтобы переместить частицу к возмущенному положению. Предполагается, что по всей области вычисления давление равномерно, а скорость звука в верхнем слое устанавливается равной 1. Время прохождения звука, tsc, в вертикальном направлении в верхнем слое становится равным π/2. На рис. 2 показаны снимки результатов, полученных в стандартном SPH-методе и GSPH в различные моменты времени.
Рисунок 2. Тест на подавление возмущений в стандартном SPH-методе (левая колонка) и GSPH (правая колонка). Отдельные снимки показывают положение частиц при t = 0.0, 1.3, 2.7 и 4.0tsc ,,соответственно, сверху вниз. Результаты стандартного SPH-метода показывают, что первоначальное возмущение полностью подавлено в 4tsc вследствие отталкивания частиц по градиенту плотности, хотя давление при этом остается постоянным. А результаты GSPH, напротив, показывают, что возмущение сохранилось. Первоначальный перепад плотностей верхнего и нижнего слоев составляет 1:2.
Тест не предполагает какого-либо движения частиц, поскольку во всей области вычисления давление равномерно. Однако результаты, полученные при использовании стандартного SPH-метода, показывают, что первоначальная граница разрыва плотности сглаживается. А при использовании GSPH разрыв плотности достаточно хорошо сохраняет свою форму. Становится ясно, что отталкивание частиц вследствие несогласованности стандартного SPH-метода гасит возмущение. Сила отталкивания действует в нормальном направлении по отношению к разрыву плотности, создавая поверхностное натяжение (Price, 2008). Мы изменяли кривизну первоначального возмущения и утверждаем, что подавление зависит от кривизны.
3.3 Лагранжиан
Еще один способ получить уравнения SPH-метода – использование Лагранжиана (например, Price и Monaghan, 2004, и ссылки данной работы). Лагранжиан, L, для жидкости выглядит следующим образом:
(21)
где u – удельная внутренняя энергия. Функция Лагранжа для стандартного SPH-метода:
(22)
Для данной функции Лагранжа уравнение Эйлера-Лагранжа дает уравнение движения для стандартного SPH-метода. Однако, функция Лагранжа уже использует аппроксимацию частиц (уравнение 22), поэтому уравнение импульса, полученное из функции Лагранжа, по-прежнему сохраняет несогласованность в неравномерном распределении частиц.
Взаимосвязь между этой функцией Лагранжа и точной функцией Лагранжа для жидкости показана в I02, где получена точная функция Лагранжа для системы частиц, а затем аппроксимированный Лагранжиан:
(23)
который имеет 2-ой порядок точности. Новая функция Лагранжа очень похожа на ту, которая используется в стандартном SPH-методе, единственное отличие заключается в члене, обозначающем удельную внутреннюю энергию. Удельная внутренняя энергия выглядит как сглаженная еще раз по сравнению со стандартным SPH-методом, но данная форма в виде второго члена функции Лагранжа точно такая же, как и соответствующий член в функции Лагранжа для реальной жидкости (см. уравнения (29) и (41) в I02). Уравнение импульса, полученное из уравнения (23), абсолютно такое же, как и уравнение, полученное при свертке ядра.
Для интегрирования уравнения (17) необходимо знать функциональные формы плотности и давления. Линейная или кубическая сплайн-интерполяция была использована в I02 в качестве функции плотности около частиц i и j, но требуется дальнейшее уточнение для более точного учета поля плотности. Для определения давления и скорости между частицами i и j использовалось решение задачи Римана (RPS или РЗР). Поэтому данный метод именуется «метод SPH Годунова». Как и в обычном сеточном методе Годунова, никакой явной диссипации (например, искусственной вязкости) не требуется благодаря применению решения задачи Римана (РЗР).
Заметили, что использование решения задачи Римана в GSPH напрямую не связано с отсутствием НКГ или с проблемой согласованности. Появление нефизической силы вследствие несогласованности уравнения импульса в стандартном SPH-методе было устранено в новом уравнении импульса в GSPH, полученном в результате свертки ядра или из новой функции Лагранжа. Решение задачи Римана используется для описания ударных волн, поскольку создает небольшое, но достаточное рассеяние в окрестности ударных волн. Чтобы проверить это, мы провели моделирование НКГ с помощью простейшего GSPH, предложенного Cha и Whitworth (2003a). В простейшем GSPH используется то же уравнение импульса, что и в стандартном SPH-методе, однако вместо искусственной вязкости применяется решение задачи Римана. Простейший GSPH также показывает отсутствие НКГ по градиенту плотности.