МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Снежинский физико-технический институт

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(СФТИ НИЯУ МИФИ)

Кафедра Прикладных физики и математики

Курсовая работа

по курсу «Вычислительная гидродинамика»

Тема:

Исследование неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца методом сглаженных частиц SPH-Годунова

Группа: ПМ-57Д

Студент: А.Н. Бодриков

Научн. руководитель: зав. кафедрой ПФМ, доктор ф.-м. наук, профессор А.Д. Зубов

Снежинск, 2012

Исследование неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца методом сглаженных частиц SPH-Годунова

Kelvin-Helmholtz instabilities with Godunov SPH

Seung-Hoon Cha¹, Shu-ichiro Inutsuka² and Sergei Nayakshin¹

¹Department of Physics & Astronomy, University of Leicester, Leicester, LE1 7RH, UK

²Department of Physics, Nagoya University, Nagoya, 463-8602, Japan

АННОТАЦИЯ

Численное моделирование нелинейного развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в двух слоях различной плотности проведено методом частиц (метод сглаженных частиц Годунова, GSPH), разработанным Inutsuka (2002). GSPH можно описать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца даже с большим различием в плотности, в то время как стандартный SPH-метод демонстрирует отсутствие неустойчивости по градиенту плотности (Agertz и др., 2007). Также проведено изучение взаимодействия плотного пузыря с горячей средой. GSPH описывает образование и развитие пальцевидных структур в результате комбинации неустойчивостей Рэлея-Тейлора, Рихтмайера-Мешкова и Кельвина-Гельмгольца. Результаты расчета пузыря хорошо совпадают с результатами сеточных программ.

Неточный учет градиента плотности в стандартном SPH-методе указан в качестве основной причины отсутствия неустойчивостей. Нефизическая сила появляется при градиенте плотности даже при равновесии давлений, и она отталкивает частицы от первоначальной границы разрыва плотности. Таким образом, начальное возмущение гасится, и на плотностной границе образуется пустота. Нефизическая сила исследуется исходя из согласованности математической модели. В отличие от стандартного SPH-метода, уравнение импульса в GSPH не использует аппроксимацию частиц, а получается путем составления уравнений с ядром свертки или новой функции Лагранжа. Новая функция Лагранжа, используемая в GSPH, аналогична реальной функции Лагранжа для континуума. Уравнение импульса в GSPH имеет лучшую линейную согласованность, поэтому нефизическая сила существенно уменьшена по сравнению со стандартным SPH-методом при большом перепаде плотности.

Ключевые слова: гидродинамика – неустойчивости – турбулентность – методы: численный – звезды: образование – галактик: эволюция – звезда: образование

1. Введение

Метод SPH (метод сглаженных частиц, Gingold и Monaghan 1977, Lucy, 1977) – это полностью лагранжевый бессеточный метод, широко используемый в различных областях астрофизики (Monaghan, 1992), особенно для систем нерегулярной формы и/или самогравитирующих систем. Причиной этого является его лагранжево происхождение и наличие древовидной структуры (Barnes и Hut, 1986). Древовидная структура весьма эффективна не только при вычислении гравитации, но также при поиске соседних объектов. Таким образом, SPH-метод становится эффективным средством исследования образования звезд или галактик.

Однако Agertz и др. (2007) (далее A07) показали, что при помощи SPH-метода сложно описать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (далее НКГ) по градиенту плотности. Они проводили моделирование НКГ по двум слоям различной плотности при помощи двух стандартных кодов SPH (GADGET2 Springel и др., 2002), GASOLINE (Wadsley и др., 2004) и пяти сеточных кодов (ART (Кравцов и др., 1997), CHARM (Miniati & Colella, 2007), ENZO-PPM (Bryan & Norman, 1997), ENZO-ZEUS (Stone & Norman, 1992), FLASH (Fryxell и др. 2000)). В результате использования стандартных кодов по градиенту плотности наблюдалось отсутствие НКГ. Однако при проведении моделирования с помощью сеточных кодов наблюдаются правильно закрученные завихрения даже при высоком контрасте плотности. Стандартный SPH-метод показывает завихрения только для случая однородной плотности. Также они провели исследование взаимодействия пузыря и горячей среды с большим числом Маха (тест пузыря). Результаты, полученные при использовании сеточных кодов, показывают, что в результате неустойчивостей Рэлея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова впереди сжатого пузыря начинают образовываться пальцевидные структуры, которые затем усиливаются НКГ. В конечном итоге пузырь разрушается. Однако коды с использованием стандартного SPH-метода показывают только сжатие пузыря. Они называют это «фундаментальной разницей» между стандартным SPH-методом и сеточными кодами. Их результаты вызовут множество проблем, поскольку НКГ играет важную роль в различных областях, где интенсивно применяется SPH-метод.

A07 обнаружили странное поведение частиц в области начального разрыва контакта между двумя слоями различной плотности. Наблюдается выравнивание частиц, а вдоль разрыва контакта образуется пустота. Об образовании пустоты или «отслаивании» слоев частиц в области градиента плотности уже сообщалось в работе (Fulk 1994), и в качестве рекомендации было предложено изменить исходную конфигурацию частиц (Monaghan, 1987; Fulk, 1994). Таким образом, в A07 проведено то же моделирование с тремя различными исходными условиями, такими как пространственная решетка, коэффициент Пуассона и стекловолокно. И хотя различные исходные условия дали различные результаты, НКГ так и не появилась при моделировании с использованием стандартного SPH-метода. Другой причиной образования пустоты может являться искусственная вязкость, поскольку искусственную вязкость в стандартном SPH-методе критикуют уже давно (Watkins и др., 1996; Cha и Whitworth, 2003b) по различным аспектам. И хотя искусственная вязкость может внести незначительное изменение в результаты, НКГ по-прежнему отсутствует, независимо от искусственной вязкости. К тому же, код ENZO-ZEUS, используемый в A07, учитывает искусственную вязкость фон Неймана-Рихтенмайера, но показывает НКГ в градиенте плотности. Таким образом, искусственная вязкость не может являться причиной образования пустот. В итоге A07 заключили, что отсутствие НКГ и образование пустот происходит в результате неточного учета гидродинамической силы по градиенту плотности.

Отсутствие НКГ в градиенте плотности является серьезной проблемой для пользователей SPH-метода, поэтому решение ее необходимо срочно найти. Price (2008), предложил ввести искусственную теплопроводность в уравнение энергии стандартного SPH-метода. По аналогии с влиянием искусственной вязкости на разрыв импульса, искусственная теплопроводность влияет на разрыв спектра тепловой энергии и меняет профиль распределения давления на непрерывный по градиенту плотности. Он показал, что новое уравнение энергии с членом, обозначающим искусственную теплопроводность, может описать НКГ по градиенту плотности. Price (2008) полагал также, что новая формула Initsuka (2002, далее I02), основой которой служит новая функция Лагранжа, правильно учтет градиент плотности.

В настоящей работе мы рассматриваем GSPH (GSPH), предложенный I02, в качестве возможного метода решения проблемы неточного учета градиента плотности. Тесты, проведенные в работах A07, были проведены снова с использованием двухмерного кода GSPH. По результатам использования GSPH влияние нефизической силы по градиенту плотности существенно снижено, а НКГ и иные неустойчивости стали видны. В частности, была смоделирована НКГ, развивающаяся в диагональном направлении, и получены удовлетворительные результаты. При тесте пузыря образовались сложные структуры вследствие комбинации неустойчивостей.

Неточный учет градиента плотности в стандартном SPH-методе был изучен с точки зрения согласованности численного метода, и результаты представлены в разделе 2. Для этой цели было рассмотрено уравнение импульса GSPH с ядром свертки, а также новая функция Лагранжа для системы частиц в разделе 3. Была изучена согласованность GSPH, и простой тест, подтверждающий учет разрыва плотности, представлен в том же разделе. Моделирование НКГ в двух слоях различной плотности и тест с пузырем представлены в разделе 4. Выводы представлены в разделе 5.

2 Согласованность sph-метода

2.1 Устойчивость, согласованность (аппроксимация) и сходимость

Вероятно, наиболее важной характеристикой математической модели является сходимость, поскольку именно она определяет, насколько приближена математическая модель к фактическому (реальному) решению. Однако в общем случае прямо подтвердить сходимость математической модели нелегко, поскольку в большинстве задач фактического решения нет. Поэтому для проверки сходимости математической модели весьма полезно воспользоваться теоремой эквивалентности Лакса (или Лакса-Рихтмайера) (например, Gary, 1966, Ritchmyer и Morton, 1967; Despres, 2003). Согласно теореме эквивалентности Лакса устойчивость и согласованность являются достаточными условиями сходимости.

Во-первых, устойчивость можно четко определить, и она до настоящего времени интенсивно изучалась в стандартном SPH-методе (Monaghan, 1989; Balsara, 1995; Swegle и др., 1995; Morris, 1996; Cha и Whitworth, 2003a), по крайней мере, для линейных алгоритмов. Стандартный SPH-метод условно устойчив, и при условии Куранта-Фридриха-Леви (Courant & Friedrichs, 1948) устойчивость стандартного SPH-метода гарантирована.

Во-вторых, согласованность математической модели означает, насколько хорошо числовые уравнения модели аппроксимируют физические уравнения (Fulk, 1994; LeVeque, 2002), и непосредственно связана с анализом ошибки округления (аппроксимации). Если модель согласована, то ошибка аппроксимации математической модели должна исчезнуть по мере того, как временной шаг, Δt, и размер сетки, Δx (а в SPH-методе – длина сглаживания, h, аналогичная Δx в сеточных кодах), приближаются к бесконечно малому значению. Таким образом, отсутствие согласованности приведет к неточности математической модели. Можно сконцентрироваться на согласованности, чтобы добиться сходимости, поскольку устойчивость уже доказана.

Поскольку проблема согласованности стандартного SPH-метода хорошо известна (см., например, Fulk, 1994; Dilts, 1999), то она будет лишь кратко затронута в следующих разделах для удобства читателей. Для получения уравнения импульса стандартного SPH-метода необходимо сделать две аппроксимации. Первая – это ядерная аппроксимация, и вторая – аппроксимация частиц. Согласованность стандартного SPH-метода будет проверена для обеих аппроксимаций.

2.2 Ядерная аппроксимация

Ядерная аппроксимация выражается следующей формулой:

(1)

где W и <f> – ядро и сглаженные по ядру функции соответственно.

Чтобы проверить порядок согласованности ядерной аппроксимации, мы будем следовать методике Liu & Liu (2006). Если численная схема приводит к многочлену до точно определенного n-го порядка, то о такой схеме говорят, что она имеет аппроксимацию n-го порядка. Например, чтобы проверить согласованность нулевого порядка для ядерной аппроксимации, следует подставить функцию f (x’) = C₀ в уравнение (1), и тогда сглаженная ядром функция примет вид:

(2)

При этом используется следующее условие нормировки ядерной функции:

(3)

Из уравнения (2) легко выводится аппроксимация нулевого порядка. Для согласованности 1-го порядка следует вставить линейную функцию С₀ + С_1х’ в f (x’), и тогда

(4)

В данном случае используются условие нормировки (уравнение 3) и свойство симметрии ядерной функции

(5)

Для более высокого порядка согласованности нам нужен более высокий момент ядерной функции. Например, для согласованности 2-го порядка нужно, чтобы 2-ой момент ядерной функции был

(6)

Однако добиться этого, используя неотрицательную ядерную функцию, невозможно. Таким образом, согласованность ядерной аппроксимации при неотрицательной и нормализованной симметричной ядерной функции составляет менее 2.

Для более полного рассмотрения мы можем повторить вышеприведенные действия и для первой производной f (x), поскольку уравнения гидродинамики содержат первую производную физических величин. Однако необходимо проверять не только согласованность, поэтому такой анализ здесь не приводится. Для более подробной информации см. Monaghan (1982) или Liu et al. (2003).

Согласованность зависит от условия нормировки ядра. Таким образом, ядерная аппроксимация теряет свой нулевой порядок согласованности, если условие нормировки не удовлетворено, например, на краю плотного облака в разреженной окружающей среде. Однако численные эксперименты, представленные в A07 и в разделе 4, имеют корректные реализации граничных условий, поэтому несовершенство ядерной функции на границе не является критической проблемой для тестов.

И хотя ядерная аппроксимация имеет согласованность, она не используется напрямую в уравнениях SPH. Вместо ядерной аппроксимации для вывода стандартных уравнений SPH используется аппроксимация частиц, объяснение которой представлено ниже.