1.3 Матричний запис початкових рівнянь

Система рівнянь поправок (4) у математичній формі:

, (6)

де – прямокутна матриця коефіцієнтів умовних рівнянь розміром ,

де

, .

Для нерівноточних вимірювань вводиться ще діагональна матриця ваги вимірювань

.

Рівняння (6) розв’язують за умовою .

2 Нормальні рівняння корелАт

2.1 Складання нормальних рівнянь

Для досягнення тільки єдиного розв’язку рівняння (6) матриця поправок повинні задовольняти умові (7). Мінімум функції (7) шукають в корелатному методі зрівнювання методом Лагранжа, оскільки змінні функції (7) підпорядковуються умовам (6).

Для цього складемо функцію Лагранжа

, (8)

де ­ матриця невизначених множників Лагранжа (або матриця корелат).

Необхідною умовою мінімуму функції (8) буде дорівнювання нулю її диференціала

(9)

­ диференціальна матриця поправок.

Розв’язок рівняння (9) приведе до наступного виразу матриці поправок:

, (10)

яка в лінійному виді представляє систему

(11)

названою корелатними рівняннями поправок.

Підставивши рівняння (10) в умовне рівняння поправок (6), отримаємо нормальне рівняння корелат:

(12)

або в лінійному вигляді:

(13)

Розв’язуючи рівняння (12), отримуємо корелати та підставляючи їх у рівняння (10), знаходимо поправки у результатах вимірювань.

2.2 Розв’язок нормальних рівнянь

Найбільш розповсюдженим у геодезичній практиці методом розв’язку систем нормальних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих Гауса.

Позначимо .

Тоді нормальне рівняння корелат (12) набуде вигляду

. (14)

Розв’язок системи (14) за методом Гауса зводиться до розкладу матриці

(15)

на дві трикутні матриці

,

. (16)

Тут і надалі для простоти запису , з яких перша – вираз системи еквівалентних рівнянь

(17)

а друга – елімінаційних рівнянь

. (18)

Із останньої системи легко вирахувати невідомі (корелати). Підставивши їх значення в систему (11), отримаємо поправки в результати вимірювань і вирівнюванні значення виміряних величин

.

3 ОцінЮвання точності результатів урівнювання

3.1 Визначення помилки вагової одиниці

, (19)

– число умовних зрівнювань.

3.2 Визначення ваги і середньоквадратичної помилки функції вирівнюючих елементів

Ця задача у загальному вигляді розв’язується за допомогою пошуку зворотної ваги функції вирівнюючих елементів

,

яка називається ваговою функцією. Через малі поправки, вагова функція набуває вигляду ряду Тейлора і приводиться до вигляду

або

– матриця часткових похідних вагової функції, .

Побудувавши матрицю виду

і піддаючи цю матрицю перетворенням згідно з алгоритмом Гауса (подібно до тих, які виконувались зі системою нормальних рівнянь), отримаємо формулу для зворотної ваги функції вирівнювання величин у вигляді

, (20)

тоді . (21)

3.3 Оцінювання точності невідомих (корелат)

Середньоквадратичні помилки невідомих (корелат) можна порахувати, використовуючи вираз

,

де – елементи оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь, розташованих на головній її діагоналі.