2.3. Частотные характеристики объектов

Наряду с передаточными функциями к динамическим характеристикам объектов относятся их частотные характеристики.

Важную роль при изучении динамики объектов играют комплексные частотные характеристики (КЧХ). Если задана передаточная функция объекта , то его КЧХ можно определить, полагая , где - мнимая единица, а - круговая (циклическая) частота. В отличие от передаточной функции , КЧХ объекта допускает наглядное графическое представление на комплексной плоскости.

График КЧХ принято называть годографом КЧХ. Для его построения на мнимой и вещественной координатных осях откладываются соответственно значения и , определяющие мнимую и вещественную координаты точки годографа КЧХ при заданном значении частоты .

Пример 2.1. Предположим, что передаточная функция объекта задана выражением

, (2.51)

где

; . (2.52)

Согласно равенству (2.51) имеем

.

В таком случае

; (2.53)

. (2.54)

Подставив в равенства (2.53) и (2.54) значения параметров, заданные равенствами (2.52) и придавая переменной значения от , до построим годограф КЧХ объекта, представленный на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Как видно из рис. 2.1, годограф КЧХ объекта начинается при на вещественной оси в точке (1,2, 0) и заканчивается при в начале координат.

КЧХ объекта широко используются при анализе систем управления на устойчивость, а также при расчетах параметров настройки регуляторов.

Поскольку каждое значение КЧХ объекта является комплексным числом, имеющим вещественную и мнимую части, то

. (2.55)

Комплексное число можно представить не только в обычном виде (2.55), но и в так называемой тригонометрической форме, т.е.

, (2.56)

где амплитуда и фаза КЧХ объекта задаются равенствами

; (2.57)

. (2.58)

Величины и называются амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ) и фазо–частотной характеристикой (ФЧХ) объекта. Они определяют реакцию объекта на гармонические воздействия (сигналы), т.е. воздействия, изменяющиеся со временем по закону синуса или косинуса.

Действительно, пусть на вход линейного объекта с постоянными параметрами поступает гармонический сигнал

,

тогда на его выходе появится гармонический сигнал вида

,

где и - амплитуды, а и - фазы входного и выходного сигналов объекта. В отсутствие помех и шумов взаимосвязь между характеристиками входного и выходного сигналов объекта определяется выражениями

; . (2.59)

Согласно выражениям (2.59) АЧХ и ФЧХ характеризуют соответственно изменение амплитуды и фазы входного сигнала при его прохождении через каналы передачи объекта.

Пример 2.2. Определим АЧХ и ФЧХ для объекта с передаточной функцией (2.51). Воспользовавшись выражениями (2.57) и (2.58) получим для АЧХ и ФЧХ рассматриваемого объекта следующие аналитические выражения:

; .

Подставляя в эти выражения значения параметров, заданные равенствами (3.59) и изменяя значения переменной от до , построим графики АЧХ и ФЧХ рассматриваемого объекта, представленные соответственно на рис. 3.5 и 3.6.

Рис. 2.2. АЧХ объекта с передаточной функцией (3.58).

Рис. 2.3. ФЧХ объекта с передаточной функцией (3.58).

Как видно из рис. 2.2, с ростом амплитуда выходного сигнала монотонно убывает до нуля. Кроме того, согласно рис. 2.3 при этом увеличивается отрицательный набег фазы этого сигнала до предельной величины .

Интересные свойства АЧХ и ФЧХ устанавливает следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть и соответственно АЧХ и ФЧХ линейного стационарного объекта, тогда выполняются равенства

; (2.60)

. (2.61)

Согласно теореме 2.1 АЧХ и ФЧХ линейных стационарных объектов является соответственно четными и нечетными функциями частоты.

Наряду с уже рассмотренными частотными характеристиками используются и так называемые расширенные частотные характеристики. Выражения для них также можно получить, используя передаточную функцию объекта .

В первом случае комплексный аргумент передаточной функции следует представить в виде , где . Тогда комплексная функция называется расширенной по частотной характеристикой, а показатель называют величиной относительного демпфирования.

Характеристики используются при определении запаса устойчивости и колебательности систем управления, т.к. позволяют определить самую высокую частоту колебаний, совершаемых системой при свободном движении, т.е. в отсутствие управляющих и возмущающих воздействий.

Во втором случае комплексный аргумент передаточной функции следует представить в виде , где . Тогда комплексная функция называется расширенной по частотной характеристикой, а величину называют величиной абсолютного демпфирования.

Характеристики используются при определении запаса устойчивости и быстроты затухания колебаний, совершаемых системой при свободном движении.