6.2. Автоколебания в нелинейных системах

Характерной особенностью нелинейных систем является возможность возникновения в них периодических колебаний за счет непериодического источника энергии, причем амплитуда этих колебаний зависит от свойств самой системы. Это явление называется автоколебаниями, которые изображаются на фазовой плоскости в виде изолированной замкнутой траектории, называемой «предельный цикл».

Для реальных систем определить автоколебания сложно, хотя изучение этих явлений, исследования условий возникновения, амплитуды и периода автоколебаний очень важно.

В некоторых случаях можно воспользоваться различными критериями, позволяющими выяснить, что в данном фазовом портрете системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. автоколебания в такой системе не возникнут. Например, критерий Бендиксона, формулируемый следующим образом:

Если в некоторой области на фазовой плоскости выражение

знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий.

Если функции и не являются аналитическими или критерий Бендиксона не выполняется, используют другие методы для определения автоколебаний, например, метод гармонического баланса, включающего в себя следующие основные этапы.

1. Исследуемую нелинейную систему представляют в виде замкнутой системы, состоящий из линейной части, объединяющий все линейные элементы и нелинейного звена.

2. Систему размыкают перед нелинейным элементом, предполагая, что линейная и нелинейная части являются детектирующими звеньями.

3. Строят амплитудно-фазовую характеристику линейной части.

4. Строят инверсную амплитудно-фазовую характеристику нелинейной части, как функции амплитуды.

5. По взаимно расположению этих кривых определяют возможность автоколебаний в системе и их устойчивость.

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем отличаются первый и второй методы Ляпунова?

2. В чем сущность метода гармонического баланса?

3. Какое состояние равновесия является неустойчивым?

4. Дайте определение устойчивого состояния равновесия.

5. Какая система называется асимптотически устойчивой?

ТЕСТ 6.

Из предложенных Вам ответов на данный вопрос выберите правильный.

6.1. Чем определяется устойчивость системы первого приближения?

а) расположением корней ее характеристического уравнения;

б) количеством состояний равновесия;

в) количеством описывающих ее уравнений;

г) видом отброшенных нелинейных членов.

6.2. Как определяется абсолютная устойчивость нелинейных систем?

а) по отсутствию автоколебаний;

б) на основании анализа поведения системы при больших отклонениях от состояния равновесия;

в) на основании анализа на устойчивость линейной системы первого приближения;

г) с помощью второго метода Ляпунова.

6.3. Какие процессы в нелинейных системах называются автоколебаниями?

а) периодические колебания;

б) постоянно возобновляющиеся колебания;

в) возникновения в них периодических колебаний за счет непериодического источника энергии, причем амплитуда этих колебаний зависит от свойств самой системы;

г) непериодические колебания.

6.4. Какими параметрами характеризуются автоколебания?

а) амплитудой;

б) периодом;

в) амплитудой и периодом;

г) фазой.

6.5. Какой критерий позволяет судить о наличии автоколебаний у нелинейной системы?

а) критерий Бендиксона;

б) критерий Ляпунова;

в) критерий Рауса–Гурвица;

г) критерий Михайлова.

Ответы на тесты

тест 1.

1.1. б.

1.2. в.

1.3. г.

1.4. г.

1.5. в.

тест 2.

2.1. в.

2.2. г.

2.3. в.

2.4. а.

2.5. г.

тест 3.

3.1. г.

3.2. б.

3.3. б.

3.4. в.

3.5. б.

тест 4.

4.1. в.

4.2. а.

4.3. г.

4.4. а.

4.5. г.

тест 5.

5.1. г.

5.2. г.

5.3. г.

5.4. а.

5.5. г.

тест 6.

6.1. а .

6.2. г.

6.3. в.

6.4. в.

6.5. а.

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

Из предложенных Вам ответов на данный вопрос выберите правильный.

1. Как формируется задающее воздействие в следящих системах?

а) оно поступает на вход системы извне;

б) оно формируется регулятором;

в) оно формируется командным блоком.

2. Для каких систем выполняется принцип суперпозиции?

а) для линейных;

б) для нелинейных;

в) для аналоговых.

3. Какие алгоритмы управления называют типовыми?

а) оптимальные;

б) на основе которых реализуются технические средства управления, серийно выпускаемые промышленностью;

в) линейные.

4. Сколько существует типовых алгоритмов управления?

а) 2;

б) 3;

в) 4.

5. С помощью какого преобразования линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами заменяются алгебраическими?

а) преобразования Ляпунова;

б) преобразования Фурье;

в) преобразования Лапласа.

6. При анализе каких систем используются передаточные функции?

а) при анализе линейных систем;

б) при анализе нелинейных систем;

в) при анализе дискретных систем.

7. Чем определяется состояние объекта?

а) вектором состояния;

б) матрицей состояния;

в) тензором состояния.

8. Какая из характеристик объекта меняет знак при изменении знака частоты?

а) амплитудно–частотная характеристика объекта;

б) фазо–частотная характеристика объекта;

в) комплексная частотная характеристика объекта.

9. Как получить импульсную переходную характеристику объекта, если известна его переходная характеристика?

а) продифференцировав по времени переходную характеристику объекта;

б) проинтегрировав по времени переходную характеристику объекта;

в) умножив переходную характеристику объекта на пи.

10. Сколько существует типовых способов соединения элементарных динамических звеньев?

а) 2;

б) 3:

в) 4.