5.4. Критерий устойчивости Найквиста
Этот критерий базируется на частотных характеристиках разомкнутой системы, позволяя по их виду судить об устойчивости замкнутой системы.
Рассмотрим различные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Этот случай соответствует системам без астатизма, т.е. передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид
,
(5.3)
где
–
коэффициент передачи разомкнутой цепи,
а
.
Для рассматриваемого случая
критерий Найквиста формулируется
следующим образом: если
разомкнутая система устойчива, то для
устойчивости замкнутой системы необходимо
и достаточно, чтобы КЧХ разомкнутой
системы
не охватывала точку комплексной плоскости
с координатами (
,
).
Случаи, когда замкнутая система оказывается устойчивой в соответствии с критерием Найквиста, представлены на рис. 5.4 и 5.5, причем
;
;
.
Рис. 5.4. Рис. 5.5.
Вид годографа КЧХ разомкнутой системы на рис. 5.4 отвечает случаю, когда устойчивость системы нарушится только с увеличением коэффициента передачи разомкнутой цепи , а на рис. 5.5 – случаю, когда и при уменьшении система может стать неустойчивой, т.к. согласно (5.3) радиус-векторы всех точек КЧХ изменяются пропорционально . Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис. 5.6.
Рис. 5.6.
Имея в виду сложные очертания годографа КЧХ, к представленной выше формулировке критерия Найквиста добавляется разъяснение, что надо понимать под термином «неохват точки с координатами (–1, 0)». Годограф КЧХ может пересекать отрицательную ось левее точки (–1, 0), но тогда число его положительных (сверху вниз) переходов через ось абсцисс левее точки (–1, 0) должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).
Система нейтральная в
разомкнутом состоянии.
Знаменатель передаточной функции
разомкнутой системы
имеет нулевые корни, а все его остальные
корни имеют отрицательные вещественные
части, т.е.
,
.
Этот случай соответствует астатическим системам, причем – степень астатизма. При этом формулировка критерия устойчивости остается такой же, как и для рассмотренного выше случая устойчивой разомкнутой цепи.
Система
с неустойчивой разомкнутой цепью.
Пусть знаменатель передаточной функции
разомкнутой системы
имеет
корней с положительными вещественными
частями. Тогда для устойчивости замкнутой
системы требуется, чтобы КЧХ разомкнутой
системы охватывала «опасную» точку с
координатами (–1,
0)
против часовой стрелки на угол
.
Другими словами, левее точки (–1,
0)
разность между числом положительных и
отрицательных переходов КЧХ через
вещественную ось комплексной плоскости
должна равняться
.
Например, если
,
то для устойчивости замкнутой системы
КЧХ разомкнутой системы должна иметь
вид, показанный на рис. 5.7а и рис. 5.7б.
Рис. 5.7а. Рис. 5.7б.
При этом начальная точка на вещественной оси левее точки (–1, 0) считается как половина перехода.
Следует обратить внимание на важные преимущества критерия устойчивости Найквиста по сравнению с критериями Рауса – Гурвица и Михайлова:
1. При использовании этого критерия нет необходимости в знании характеристического уравнения замкнутой системы – вся необходимая информация может быть получена экспериментально.
2. Критерий применим для систем с распределенными параметрами и транспортным запаздыванием, передаточные функции которых трансцендентны.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какие линейные системы называются устойчивыми?
2. В чем заключается необходимое и достаточное условие устойчивости линейных стационарных систем?
3. Что понимается под границей устойчивости?
4. Как составляется матрица Рауса–Гурвица?
5. Сформулируйте необходимое условие устойчивости линейных стационарных систем.
ТЕСТ 5.
Из предложенных Вам ответов на данный вопрос выберите правильный.
5.1. Сколько квадрантов комплексной
плоскости пройдет последовательно,
поворачиваясь против часовой стрелки,
годограф характеристического вектора
устойчивой системы с характеристическим
уравнением 6-го порядка при изменении
от 0 до
?
а) три;
б) четыре;
в) пять;
г) шесть.
5.2. Сколько корней устойчивой системы с характеристическим уравнением четвертого порядка имеют отрицательные вещественные части?
а) один;
б) два;
в) три;
г) четыре.
5.3. Сколько коэффициентов устойчивой системы с характеристическим уравнением третьего порядка должны быть положительными?
а) один;
б) два;
в) три;
г) четыре.
5.4. Как ведет себя замкнутая система, находящаяся на границе устойчивости, будучи выведенной из состояния равновесия?
а) будучи выведенной из состояния равновесия, такая система входит в режим незатухающих гармонических колебаний;
б) будучи выведенной из состояния равновесия, такая система входит в режим затухающих гармонических колебаний;
в) будучи выведенной из состояния равновесия, такая система входит в режим возрастающих гармонических колебаний;
г) будучи выведенной из состояния равновесия, такая система совершает апериодическое затухающее движение.
5.5. Как ведет себя нейтрально–устойчивая система, будучи выведенной из состояния равновесия?
а) сигнал на выходе системы неограниченно возрастает;
б) сигнал на выходе системы остается неизменным;
в) сигнал на выходе системы является гармоническим;
г) изменение выходного сигнала системы со временем прекращается, однако его стабилизация не обязательно происходит на нулевом уровне.