Глава 5. Критерии устойчивости линейных стационарных систем

5.1. Устойчивые линейные системы

Устойчивая линейная система – это такая система, которая после устранения действующих на нее возмущений прекращает движение и приходит в состояние равновесия. Неустойчивая система не может сколько–нибудь долго находиться в состоянии равновесия – достаточно любого незначительного кратковременного возмущения, для того чтобы она пришла в самостоятельное движение, все больше и больше (монотонно или колебательно) отклоняясь от исходного (равновесного) состояния.

Таким образом, явление неустойчивости – сугубо внутреннее свойство линейных систем, не зависящее от действующих на них возмущений. В соответствии с этим исследование устойчивости системы, выполняемое по ее дифференциальному уравнению (4.14), должно производиться при условии, что правая часть этого уравнения приравнена к нулю:

. (5.1)

Решение уравнения (5.1) во временной области определяется выражением

, (5.2)

где , – корни характеристического уравнения (4.23), а , – вещественные постоянные, зависящие от начальных условий. Если среди корней уравнения (4.23) имеются кратные, то соответствующая им компонента решения заменяется на

,

где – кратность корня .

Необходимым и достаточным условием устойчивости (асимптотической устойчивости) линейной стационарной системы является требование, чтобы все вещественные корни характеристического уравнения были отрицательными, а комплексные корни имели отрицательные вещественные части. В этом случае свободное движение системы (5.2) будет с течением времени стремиться к нулю:

.

Графически корни характеристического уравнения изображаются точками на комплексной плоскости; поэтому приведенное определение может быть сформулировано и по–иному: система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости (лежат слева от мнимой оси).

Если среди корней характеристического уравнения имеется один нулевой, а все остальные расположены в левой полуплоскости, свободное движение системы с течением времени также прекращается, однако его стабилизация происходит не обязательно на нулевом уровне; такие системы часто называют нейтрально–устойчивыми.

Если среди корней характеристического уравнения имеются два чисто мнимых корня, а все остальные находятся в левой полуплоскости, система находится на границе устойчивости. Будучи выведенной из состояния равновесия, такая система входит в режим незатухающих гармонических колебаний.

Следует подчеркнуть, что в последних двух случаях речь идет только об одном нулевом корне или одной паре мнимых корней. Система, характеристическое уравнение которой имеет два нулевых или две пары одинаковых мнимых корней, будет уже неустойчивой. Это утверждение следует из того, что нулевому корню двойной кратности соответствует компонента решения уравнения (5.1) в виде , а паре чисто мнимых корней двойной кратности – компонента решения

.

В тех случаях, когда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет высокий порядок, нахождение его корней представляет не совсем простую задачу. Но для суждения об устойчивости системы нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения, достаточно только определить, все ли они расположены слева от мнимой оси комплексной плоскости. Решение такой задачи осуществляется с помощью специально разработанных для этой цели критериев устойчивости.