4.2. Передаточные функции замкнутых систем

Установим теперь вид передаточных функций односвязной замкнутой системы. С этой целью применим к операторным уравнениям (4.7) преобразование Лапласа. В результате получим

; , (4.16)

где , , и - соответственно изображения по Лапласу сигналов , , и ; и - передаточные функции объекта и регулятора; - комплексная переменная.

Применив преобразование Лапласа также к уравнению (4.9), получим уравнение для изображений

. (4.17)

Воспользовавшись равенствами (4.16) и (4.17) можно получить выражения для передаточных функций односвязной замкнутой системы.

В расчетах односвязных замкнутых систем используют три основных вида передаточных функций:

1. Главная передаточная функция

. (4.18)

2. Передаточная функция для ошибки

. (4.19)

3. Передаточная функция по возмущению , действующему со стороны регулирующего органа, т.е. добавляющегося к сигналу управления

, (4.20)

где - изображение по Лапласу сигнала . В этом случае на вход канала управления объекта поступает сигнал .

Выполнив преобразование Лапласа для равенств (4.8), получим для передаточных функций и следующие выражения:

; , (4.21)

где и - полиномы (объекты с сосредоточенными параметрами) или трансцендентные функции (объекты с распределенными параметрами); и - полиномы. Трансцендентные функции характеризуются тем, что их разложения в ряд Тейлора имеют бесконечное число членов, а для полиномов число членов этих разложений является конечным.

На основании выражений (4.18) – (4.21) можно сделать вывод, что все передаточные функции односвязной системы имеют одинаковый знаменатель

.

Функцию можно представить в виде

, (4.22)

где - положительное целое число, - коэффициенты, а - корни уравнения

. (4.23)

Уравнение (4.23) называется характеристическим уравнением замкнутой системы, т.к. его корни , характеризуют ее важнейшие динамические свойства. Их часто называют также полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Необходимо отметить, что для систем с распределенными параметрами величина , а в случае систем с сосредоточенными параметрами является конечным целым числом. Поэтому для систем с сосредоточенными параметрами, заданная выражением (4.22), величина называется характеристическим полиномом замкнутой системы.

С помощью передаточных функций (4.1) – (4.3) по входному сигналу можно при нулевых начальных условиях определить сигнал на выходе канала передачи, динамические свойства которого описываются какой-либо из этих функций.

Например, пусть на вход системы поступает сигнал , тогда сигнал на ее выходе определяется выражением

,

где – неотрицательное вещественное число.

Перейдем к рассмотрению многосвязных систем, применяемых в тех случаях, когда имеется несколько управляемых величин и изменение каждой из них влияет на все остальные.

Пусть управляемый объект и регулятор описываются матрицами передаточных функций и размерностей и соответственно. Тогда вектора изображений ошибок управления и задающих воздействий имеют координат, а вектор изображений управляющих воздействий – координат.

Получим передаточные функции замкнутой системы и уравнение, эквивалентное ее характеристическому уравнению. Для этого составим следующие уравнения для изображений:

; (4.24)

; (4.25)

. (4.26)

На основании уравнений (4.25) и (4.26) получим

. (4.27)

Подставив выражение (4.27) в уравнение (4.24) имеем

, (4.28)

где - единичная матрица размерности , для которой имеет место равенство

.

Решив векторно–матричное уравнение (4.28), зависимость вектора от вектора представим в виде

, (4.29)

где матрица является обратной по отношению к матрице .

На основании равенства (4.28) можно сделать вывод, что матричная передаточная функция замкнутой системы размерности , отвечающая векторному каналу передачи , определяется следующим выражением:

. (4.30)

Аналогично получается выражение для другой матричной передаточной функции замкнутой системы

, (4.31)

имеющей размерность и отвечающей векторному каналу передачи .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие системы принято называть односвязными?

2. С помощью какого уравнения можно определить закон изменения выходного сигнала объекта в зависимости от входного воздействия?

3. Назовите передаточные функции односвязной системы?

4. Какое уравнение называется характеристическим?

5. Значения каких величин можно определить, решив характеристическое уравнение?

ТЕСТ 4.

Из предложенных Вам ответов на данный вопрос выберите правильный.

4.1. Сколько полюсов имеет передаточная функция замкнутой системы с распределенными параметрами?

а) один;

б) три;

в) бесконечное счетное множество;

г) ни одного.

4.2. Почему в случае многосвязных систем при описании их передаточных функций обычно используют матрицы?

а) из соображений удобства;

б) только с применением матриц можно правильно описать передаточные функции многосвязных систем;

в) поскольку для описания регуляторов многосвязной системы необходимо использовать матрицы;

г) ввиду сложившихся традиций.

4.3. Если передаточная функция объекта имеет три полюса, то, сколько полюсов будет иметь передаточная функция односвязной системы с данным объектом и ПИ-регулятором?

а) один;

б) два;

в) три;

г) четыре.

4.4. Для описания какого закона используется дифференциальное уравнение замкнутой системы?

а) оно описывает закон изменения выходного сигнала объекта в зависимости от изменения сигнала, поступающего на вход системы;

б) Оно описывает закон изменения входного сигнала объекта в зависимости от изменения сигнала, поступающего на вход системы;

в) Оно описывает закон изменения выходного сигнала объекта в зависимости от изменения сигнала, поступающего на вход объекта;

г) Оно описывает закон изменения выходного сигнала объекта в зависимости от изменения сигнала, поступающего на вход регулятора.

4.5. Куда поступает сигнал управления в замкнутой системе?

а) на вход командного блока;

б) на вход сумматора;

в) на вход регулятора;

г) На вход объекта.