Глава 4. Уравнения и передаточные функции
ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
4.1. Уравнения замкнутых систем
Рассмотрим уравнения, описывающие односвязную линейную стационарную систему (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Функциональная схема односвязной системы.
Дифференциальные уравнения, устанавливающие взаимосвязь между входными и выходными сигналами объекта и регулятора рассматриваемой системы представим в виде
;
(4.1)
,
(4.2)
где
,
и
,
- соответственно коэффициенты
дифференциальных уравнений объекта и
регулятора;
- выходной сигнал объекта, соответствующий
управляемому технологическому параметру;
- сигнал управления, являющийся входным
для объекта и выходным для регулятора;
- сигнал ошибки управления, поступающий
на вход регулятора;
,
,
и
- положительные целые числа.
Представим уравнения (4.1) и
(4.2) в операторном виде. Для этого в них
знаки производных следует заменить
оператором дифференцирования по времени
.
В результате указанные уравнения
принимают вид
;
(4.3)
.
(4.4)
Пусть
;
;
(4.5)
;
,
(4.6)
тогда с учетом (4.3) – (4.6) взаимосвязь между входом и выходом объекта и регулятора установим с помощью операторных уравнений
;
,
(4.7)
где операторы объекта
и регулятора
определяются выражениями
;
.
(4.8)
В односвязной замкнутой системе к операторным уравнениям (4.5) добавляется уравнение
.
(4.9)
Исходя из равенств (4.7) –
(4.9) можно установить взаимосвязь между
входными и выходными сигналами замкнутой
системы. Например, взаимосвязь между
сигналами
и
задается выражением
.
(4.10)
Обозначим
,
(4.11)
тогда с учетом выражений
(4.5), (4.6) дифференциальный оператор
представим в виде
,
(4.12)
где
-
постоянные вещественные коэффициенты,
а
.
Полагая, что
и принимая во внимание равенства (4.10) – (4.12) получим
.
(4.13)
После замены в операторном
равенстве (4.13) операторов
производными по времени получим
дифференциальное
уравнение замкнутой системы
.
(4.14)
Уравнение (4.14) определяет
закон изменения выходного сигнала
объекта в зависимости от воздействия
.
Для ошибки управления , действуя аналогичным образом, приходим к похожему уравнению
,
(4.15)
где
.
Сопоставив уравнения (4.14) и (4.15) приходим к выводу, что при изменении сигнала, принимаемого за выходной, левая часть дифференциального уравнения, описывающего закон его изменения, остается неизменной, меняется лишь воздействие, находящееся в правой части данного уравнения.