Определение модуля упругости по изгибу
1.Цель работы
Изучение деформации изгиба.
2. Теория вопроса
Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т. е. изменяет свою форму. Во всяком теле, подверженном деформации, возникают внутренние напряжения: атомы или ионы, образующие кристаллическую решетку, немного смещаются относительно своих положений равновесия, а силы связи между ними противодействуют этому смещению как внутренние силы.
Если деформации исчезают, когда вызывающие их силы перестают действовать, то говорят об упругих деформациях. Упругие деформации происходят в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого тела предел. При превышении этого предела в теле возникают остаточные или пластические деформации, сохраняющиеся и после прекращения действия силы. По закону, установленному Гуком, для упругих деформаций абсолютная величина деформации S пропорциональна действующей силе F:
S = k F, (1)
где
k
– коэффициент пропорциональности между
величиной деформации и действующей
силой. Для растяжения (сжатия) пружины
k
обратно пропорционально жесткости.
Для различных видов деформации коэффициент
пропорциональности обозначается
различными буквами
.
Существуют различные виды упругих деформаций: растяжения, сжатия, изгиба, сдвига, кручения. Все возможные виды упругих деформаций могут быть сведены к двум основным: растяжению (сжатию) и сдвигу.
Целью работы является изучение деформации изгиба и определение величины модуля упругости (модуль Юнга).
Деформация изгиба
Под деформацией изгиба понимается такое воздействие внешних сил на тело, которое приводит к изменению кривизны этого тела.
На рис. 1 изображен частный случай изгиба – поперечный изгиб бруска, опирающегося на опоры. Расстояние между опорами АВ = l. Изгибающая сила F приложена к бруску в точке О (АO = OB). OO1 = h – стрела прогиба в точке O. Закон Гука в применении к деформации поперечного изгиба можно записать
h = F, (2)
где – коэффициент изгиба, зависящий от других свойств материала, размеров и формы бруска.
Рис. 1
При деформации поперечного изгиба прямого бруска первоначально прямая ось бруска ZZ (рис. 2) под действием силы F искривляется, а поперечные сечения S, до изгиба параллельные между собой, S // S, поворачиваются друг относительно друга. Верхние волокна бруска А1В1 укорачиваются, а нижние А2В2 – удлиняются. Наибольшее сжатие возникнет в самых верхних волокнах, а наибольшее растяжение – в самых нижних. Волокна, расположенные по оси Z1Z1, искривляются, но своей длины не изменяют. Этот слой называется нейтральным слоем. Таким образом, при поперечном изгибе в волокнах происходит по одну сторону от оси Z растяжение, по другую – сжатие, в продольном же направлении (вдоль оси Z) между волокнами проходит сдвиг. (Электромагнитное взаимодействие атомов приводит к появлению сил упругости).
В любом сечении бруска действует изгибающий момент М и поперечная (перерезывающая) сила FS. Как видно из рис. 2, изгибающий момент для сечения, отстоящего от опоры А на расстоянии Z, равен: M = FA Z (эта формула справедлива при 0 Z l/2), нo FA = FB = F/2, так как по условию АO = OB, поэтому окончательно изгибающий момент будет:
(3)
Из формулы 3 видно, что изгибающий момент меняется от одного сечения к другому и достигает наибольшего значения в точке O:
(4)
Поперечная сила FS по всей длине бруска будет постоянной и равной:
(5)
Стрела прогиба бруска достигает своего наибольшего значения h в сечении O, где действует максимальный изгибающий момент Мmах.
Рис. 2
Расчеты показывают, что величина наибольшего прогиба определяется соотношением:
, (6)
где E – модуль упругости, модуль Юнга; J – момент инерции поперечного сечения бруска относительно центральной оси.
В случае прямоугольного сечения бруска со сторонами a и b , причем a>b, момент инерции поперечного сечения будет равен:
. (7)
Подставляя формулу (4) и (7) в (6), получим:
, (8)
откуда модуль упругости на растяжение Е, определяемый из деформации поперечного изгиба, будет:
(9)