Ошибки прямых измерений

При прямых измерениях ошибки можно разделить в зависимости от причин их появления на три класса: систематические, случайные и промахи.

Систематическими называются погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов. Они всегда дают отклонения результатов измерения от истинного значения в одну и ту же сторону. Уменьшить систематические погрешности можно путем проверки приборов, более полной разработки теории и методики эксперимента и сравнения различных методов измерения одной и той же величины.

Случайные погрешности проявляются в разбросе отсчетов при повторных измерениях. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Случайные погрешности могут отклонять результаты измерений от истинного значения в обе стороны, и их влияние учитывается посредством определенной обработки результатов измерения физической величины.

Промахи (просчеты) являются результатом низкой квалификации экспериментатора, выполняющего измерения. Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность и внимательность в работе и записях результатов. Промахи не поддаются учету.

Поэтому несколько измерений одной и той же величины дают разные результаты. Такие погрешности вследствие своей непостоянности могут как увеличивать, так и уменьшать значение измеряемой величины. Они подчиняются законам теории вероятностей. Исключить их нельзя, но оценить можно.

В основе теории ошибок лежат следующие положения:

1) случайные погрешности, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку, равновероятны;

2) чем больше абсолютная величина погрешности, тем она менее вероятна.

Выводы теории вероятностей справедливы при очень большом числе случайных событий, следовательно, для более точного определения случайных погрешностей надо делать как можно больше измерений, что на практике не всегда возможно.

Допуская, что систематическая и случайная погрешности независимы друг от друга, общую ошибку измерения можно выразить как сумму:

 = _сист + _случ. (11)

При применении измерительных приборов с малой точностью измерений получают совпадающие результаты, при этом случайная ошибка гораздо меньше систематической и нет необходимости в многократных измерениях. Применяя чувствительные приборы, мы уменьшаем систематическую ошибку, но при этом существенно возрастает случайная ошибка, для уточнения которой нужны многократные измерения.

Оценивая погрешность прямого измерения, нужно, прежде всего, решить вопрос о том, какие из возможных ошибок проявляются в разбросе результатов и должны рассматриваться как случайные, и какие остаются в данной серии измерений неизвестными, т. е. должны считаться систематическими. Промахи – грубые погрешности, явно искажающие результаты измерений. Такие измерения выбрасываются из наблюдений и во внимание не принимаются.

Рассмотрим определения погрешностей при прямых измерениях.

Пусть проделано n измерений какой-либо величины, истинное значение которой равно х. В результате этих измерений мы получим ряд приближенных значений: х₁, х₂, х₃, ... х_n.

Среднее арифметическое этих результатов есть величина, наиболее близкая к истинному значению, называемая средним значением величины х,

, (12)

Абсолютная ошибка x_i равна разности между средним арифметическим значением х_ср и результатом данного измерения х_i,

x_i = |x_cp - x_i|. (13)

Абсолютные ошибки отдельных измерений могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для определения средней абсолютной ошибки результата берут среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных ошибок,

. (14)

Абсолютная погрешность не полностью характеризует качество измерений х. Поэтому для полной характеристики измерений, наряду с абсолютной погрешностью, вводится относительная погрешность. Относительная погрешность , определяющая точность измерений, представляет собой отношение средней абсолютной погрешности x_ср к среднему значению измеряемой величины x_ср.

. (15)

Истинное значение измеряемой величины принято записывать в виде

х_ист = х_ср   х_ср. (16)

Не следует понимать, что величина х_ист имеет два значения

х_ср - х_ср и х_ср + х_ср.

х_ист имеет только одно значение, а знак “+” и “-” показывает, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале:

х_ср - х_ср < х_ист < х_ср + х_ср. (17)

Для точного расчета измеряемой величины часто вычисляют среднюю квадратичную абсолютную ошибку

∆х_{ср. кв.} (18)

или наиболее вероятную ошибку

∆х_{н. вер.} . (19)

Они позволяют при большом числе измерений (нормальном законе расширения ошибок)

более точно определить пределы, внутри которых лежит измеряемая величина. Однако их вычисление сопряжено с большим числом математических операций. В случае, когда в результате измерений получается ряд совершенно одинаковых значений измеряемой величины или вычисленная погрешность меньше той, которую дает прибор, в качестве средней абсолютной погрешности выбирается собственная погрешность прибора, равная, как правило, половине цены наименьшего деления шкалы прибора.