3. Описание установки

Установка (рис. 2) представляет собой физический маятник в виде стержня с закрепленным на его нижнем конце диском, предназначенным для увеличения затухания за счет сопротивления воздуха. На маятник могут крепиться дополнительные грузы для изменения времени релаксации. Смещение маятника и амплитуда отсчитывается по шкале. Время измеряется по механическому или электрическому секундомеру.

4. Порядок выполнения работы и обработка результатов

1. Отклонить маятник на 40-50 делений (это и есть начальная амплитуда А₀).

Рис. 2

2. Отпустить маятник, одновременно включив секундомер. Измерить время t двадцати колебаний и вычислить период: T = t/n., где n=20.

3. Вычислить циклическую частоту .

4. Вновь отклонить маятник до выбранного значения А₀ (40-50делений) и, опустив его, определить амплитуду пятого, десятого, пятнадцатого, двадцатого, двадцать пятого, тридцатого колебаний. Снять не менее шести значений.

5. Зная период T, рассчитать время данных колебаний, как t_n = T n, где n – число колебаний.

6. Построить график зависимости амплитуды от времени А= А(t).

7. По графику найти время релаксации  (см. рис. 1).

8. Рассчитать коэффициент затухания, используя соотношение (9).

9. Рассчитать логарифмический декремент, используя (14).

10. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу, составленную по собственному усмотрению.

11. Записать уравнения колебаний с использованием , , , T, v. Указать значение начальной фазы  в эксперименте.

12. Оценить погрешность эксперимента

% = .

5. Контрольные вопросы

1. Определение свободных незатухающих и затухающих колебаний.

2. Вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний.

3. Уравнение затухающих колебаний.

4. Характеристики затухающего колебания: А, А₀ , ,  , Т, v, , , , их смысл, единицы измерения и взаимосвязь.

5. Вывод соотношений  = 1 и T = 1.

6. Графики затухающего колебания и амплитуды затухающего колебания.

7. Определение  из графика амплитуды.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. – М.: Высш. шк, 1973. – С 8.1, 8.2, 8.5.

2. Геворкян Р. Г., Шепель В. В. Курс общей физики: В 2 т. Т.1. – М.: Высш. шк., 1972г. – С.24.

3. Трофимова Т. И., Курс физики. – М.: Высш. шк., 1998г.

Лабораторная работа № 9

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника

1. Цель работы

Определение ускорения свободного падения с помощью физического оборотного маятника. Изучение теории математического и физического маятника.

2. Теория работы

В работе экспериментально определяется приведенная длина l₀ физического оборотного маятника, по значению которой и периоду колебаний Т вычисляется ускорение свободного падения g по формуле:

g = . (1)

Приведенная длина физического маятника равна длине изохронного математического маятника (имеющего такой же период колебаний).

Математическим маятником (рис. 1) называют материальную точку произвольной массы m, подвешенную на невесомой, нерастяжимой нити длины и совершающую колебания малой амплитуды под действием силы тяжести при отсутствии трения.

Рабочая формула (1) получается из формул периода колебаний математического и физического маятников. Если периоды одинаковы, то:

(2)

где – длина математического; – приведенная длина физического маятников соответственно.

Из формулы (2) очевидно определение приведенной длины ₀ физического маятника, рассмотренное нами.

Выведем уравнение, аналогичное (2) для математического маятника. Движение точки осуществляется под действием возвращающей силы Fв = mg sin. Для малых углов sin  , поэтому возвращающая сила равна Fв = mg . Смещение точки от положения равновесия (дуга OА) может быть определено через длину маятника и угол отклонения , который при малых  составит .

Рис. 1

Для колеблющейся точки второй закон Ньютона a = имеет вид:

. (3)

Знак "–" указывает на то, что возвращающая сила mg направлена противоположно смещению. Преобразуя (3), получим:

, (4)

Обозначив

= ₀², (5)

получим дифференциальное уравнение (7) гармонического незатухающего колебания с циклической частотой:

;

и с периодом

(6)

. (7)

Это уравнение дает неявную зависимость угла отклонения маятника от времени. Явную зависимость =(t) дает решение этого уравнения:

 = _max sin(₀t + ₀), (8)

где _max – угловая амплитуда (наибольший угол отклонения), ₀ – начальная фаза, которая определяет начальный угол отклонения ₀ при t=0.

Уравнение (8) показывает, что маятник совершает гармонические колебания (по закону синуса или косинуса).

Соотношение (6) действительно совпадает с (2).

Рассмотрим физический маятник (рис. 2).

Рис. 2

Физическим маятником называют любое твердое тело, совершающее колебания малой амплитуды под действием силы тяжести около неподвижной, горизонтальной оси.

На маятник действует вращающий момент, созданный силой тяжести относительно точки О₁ для малых углов, когда sin   . Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид:

I = M,

или с учетом того, что

 = ;

M = - mgdsin   - mg d.

Здесь учтено, что для малых углов sin   .

После преобразования:

. (9)

Введем обозначения

₀² = ,

тогда

(10)

Решением (10) является уравнение гармонического колебания

 =  _max sin(₀t + ₀),

полученное нами ранее для математического маятника.

Циклическая частота колебаний физического маятника:

(11)

Период колебаний:

. (12)

Введя приведенную длину физического маятника:

l₀ = I/ md, (13)

получим:

T = , (14)

что совпадает с формулой (2).

Приведенная длина l₀ определяется моментом инерции I маятника относительно оси подвеса, его массой m и расстоянием d от центра инерции до оси подвеса.

Изучаемый в данной работе оборотный физический маятник имеет две параллельные оси подвеса О₁ и О₂ , расположенные по разные стороны от центра инерции (рис. 3).

Рис. 3.

Особенностью оборотного маятника является то, что, при расстоянии между осями О₁О₂ равном приведенной длине физического маятника, т. е. при d₁ + d₂ = l₀, периоды колебаний маятника относительно осей, проходящих через т. О₁ и т. О₂ равны: Т₁ = Т₂,

Действительно периоды колебания на осях

и . (15)

По теории Штейнера момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Следовательно, по теории Штейнера:

I₁ = I₀ + md₁²;

I₂ = I₀ + md₂². (16)

Подставив (16) в (15) и приравняв периоды, получим:

, (17)

откуда

I₀ = md₁d₂. (18)

Подставляя (18) в (16), а затем в формулу для приведенной длины (13), получим для обеих осей О₁ и О₂ одно и то же выражение для приведенной длины:

l₀ = d₁ + d₂. (19)