3 Описание установки

Конструкция установки соответствует рис.4.3. В верхнем положении груз m₀ удерживается электромагнитом. Время опускания груза m₀ измеряется электрическим секундомером. Секундомер включается одновременно с отключением электромагнита (груз начинает движение). Выключается секундомер концевым выключателем, на который воздействует груз, опустившись на высоту h. Инструкция по работе с установкой и паспортные данные (массы m, m₀, h, r) находятся на рабочем месте.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Определение момента инерции i0 маятника без грузов

1. Снять грузы m.

2. Включить электромагнит.

3. Установить груз m₀ в верхнее положение.

4. Отключив электромагнит, измерить время t опускания груза m₀ на высоту h.

5. Опыт повторить 5 раз и рассчитать среднее значение времени t.

6. Рассчитать I₀ по (4.14).

4.2. Определение момента инерции маятника с грузами i1 и i2

1. Установить 4 груза на спицы на одинаковых расстояниях R (значение R указывается преподавателем).

2. Выполнить пункты 2-5, проведя по пять опытов при двух указанных значениях R₁ , R₂.

4.3. Определение экспериментального и теоретического значения момента инерции четырех грузов. Их сравнение

1. Используя формулу (4.8), вычислить экспериментально моменты инерции грузов:

I_гр1 = I₁ - I₀ ;

I_гр2 = I₂ - I₀ . (15)

2. Считая грузы материальными точками, рассчитать теоретические значения моментов инерции грузов по формуле (2):

I_{гр1 теор} = 4mR₁²

I_{гр2 теор} = 4mR₂² (16)

3. Сравнить экспериментальные и теоретические значения, а также рассчитать процент их взаимного отклонения и сделать вывод.

₁ =

₂ =

Результаты экспериментов и расчетов заносятся в таблицу, составленную по собственному усмотрению.

5. Контрольные вопросы

1. Определение поступательного и вращательного движения.

2. Основное уравнение динамики для поступательного и вращательного движения, смысл входящих в него величин, их определение, единицы измерения.

3. Момент инерции материальной точки, твердого тела. Теорема Штейнера.

4. Вывод рабочей формулы.

5. Объяснение результатов работы.

6. Литература

1. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский, Л. Б. Милковская. Курс физики. — М.: "Высшая школа", 1973.

2. Р. Г. Геворкян, В. В. Шепель. Курс общей физики. Ч.1 — М.: Высшая школа, 1972г.

3. Г. А. Зисман и О. М. Тодес. Курс общей физики. В 3-х т. Т.1.— М.: Наука. 1972г.

Лабораторная работа №8

Изучение свободных механических

затухающих колебаний

1. Цель работы

Изучение свободных затухающих колебаний, их графиков и характеристик. Определение времени релаксации, коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания по экспериментальному графику изменения затухающих колебаний.

2. Теория работы

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Одной из основных характеристик колебания является его амплитуда  наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Незатухающими называются колебания, амплитуда которых с течением времени не изменяется. Затухающими называют колебания, амплитуда которых с течением времени убывает.

Свободное механическое колебание реального тела всегда затухающее. Причиной затухания являются неуничтожимые силы трения и другие потери энергии.

Уравнение свободного затухающего колебания (зависимость координаты от времени) можно получить, решив уравнение движения для колеблющегося тела. Таким уравнением является второй закон Ньютона. Рассмотрим тело, совершающее прямолинейные колебания в среде.

На тело действует сила упругости F_упр и сила трения (сопротивление среды) Fтр. По закону Гука:

F_упр = - k  x

Знак минус учитывает то, что сила упругости всегда направлена к положению равновесия, т. е. выполняет роль возвращающей силы, являющейся причиной возникновения колебаний. Будем считать, что сила трения пропорциональна скорости движения тела:

v = dx/dt ,

то есть

F_тр = - b (dx/dt).

Знак минус учитывает, что сила трения всегда направлена против направления движения. Сумма этих сил по второму закону Ньютона равна произведению массы тела на ускорение а = d²x /dt²:

F_упр + F_тр = m a .

Учитывая выражение для сил и знаки, получим:

m + b + kx = 0 (1)

Разделим обе части на m и введя обозначения

= ₀² ,

= ,

получим дифференциальное уравнение второго порядка для свободного затухающего колебания:

+ 2 + ₀²x = 0. (2)

Явную зависимость x =x(t) координаты от времени называют уравнением затухающего колебания и получают в результате решения (2):

x = A₀ e^{- t}  cos(t + ); (3)

график затухающего колебания имеет вид (рис. 1).

Рис. 1

где А₀ – начальная амплитуда (при t = 0); e =2,718 – основание натурального логарифма;  – коэффициент затухания, который измеряется в с^-1;  – циклическая частота колебаний, которая измеряется в рад/с; t – время колебаний;  – начальная фаза колебаний.

Амплитуда затухающих колебаний убывает со временем по закону:

А = А₀е^-t. (4)

Циклическая частота затухающего колебания:

, (5)

где ₀ – циклическая частота колебаний при отсутствии трения, т. е. незатухающего колебания. При увеличении потерь (возрастании ) циклическая частота затухающих колебаний  уменьшается, а при условии:

₀   (6)

– колебания невозможны.

Начальная фаза  определяет начальное смещение x₀ при t=0:

x₀=A₀cos() (7)

На рис. 1 дан график затухающего колебания, проходящего по закону косинуса при  = 0. Время , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называют временем релаксации:

A (t)/A (t+)=e (8)

т. к. , то e^=e.

Поэтому справедливо соотношение:

 = 1 (9)

Частотой колебаний  называют количество колебаний за 1 с, а периодом T – время одного колебания. Частота и период связаны соотношением:

T = . (10)

За одно колебание фаза изменяется на 2, а за 1 с – на 2 или на , т. е.:

 = 2 = . (11)

Декрементом затухающего колебания называют величину , показывающую во сколько раз амплитуда колебаний в данный момент A(t) больше той, которая будет через один период, т. е.:

(12)

Логарифмическим декрементом  называют натуральный логарифм декремента, т. е.:

 = ln . (13)

Справедливо соотношение:

 = T;  = (14)

Действительно,

Используя (11) и (14), уравнение затухающего колебания (3) можно записать в виде:

(15)