Кроме того, часть энергии уходит на работу против сил трения:

А =  mg l cos (15)

где  — коэффициент трения, l — длина наклонной плоскости,  — угол при основании наклонной плоскости. Т. к. этот угол невелик, то с погрешностью, не превышающей 5%, можно считать cos=I, тогда

А =  m g l (16)

По закону сохранения энергии

(17)

При отсутствии скольжения угловая скорость связана с линейным соотношением:  = , где R — радиус вращения (радиус шара; цилиндра).

Рис. 4

П одставив выражение  в формулу (17) и сократив на m, получим:

(18)

Выразим скорость в конце наклонной плоскости через время t и длину l:

, тогда

Формула (18) примет вид:

(19)

Отсюда момент инерции равен:

(20)

Формула (20) является расчетной для момента инерции цилиндра и шара.

В. Трение качения

Цилиндр (шар), скатываясь с наклонной плоскости, находится под действием трех сил: , силы трения и реакции наклонной плоскости (рис. 4). Реакция в соответствии с третьим законом Ньютона равна по модулю нормальной составляющей силы , имеющей величину mgsin.

Трение между цилиндром и наклонной плоскостью возникает в точках соприкосновения. Поскольку эти точки цилиндра в каждый момент времени неподвижны (они образуют мгновенную ось вращения), сила трения, будет силой трения (качения) покоя. Скольжение при качении цилиндра по плоскости будет отсутствовать при условии, что линейная скорость точек соприкосновения будет равна нулю, что в свою очередь выполняется, если скорость центра масс равна в каждый момент времени угловой скорости вращения цилиндра  умноженной на радиус цилиндра R

(21)

соответственно ускорение центра инерции ar будет равно угловому ускорению, умноженному на радиус:

При соблюдении этих условий сила трения _тр не превышает максимального значения и цилиндр будет скатываться без проскальзывания.

Напишем II-ой закон Ньютона для скатывания цилиндра (шара) с наклонной плоскости:

(22)

Момент силы трения относительно оси цилиндра будет отличен от нуля и равен . Тогда на основании II-го закона динамики для вращательного движения твердого тела можно записать:

(23)

где J — момент инерции цилиндра относительно оси его вращения, равный .

Решая совместно уравнения 21, 22, 23 найдем, что

(24)

Известно, что опытный закон трения качения имеет вид:

(25)

где N — сила нормального давления, равная в нашем случае mgcos,

R — радиус цилиндра, ₀ — коэффициент трения качения.

Приравнивая правые части равенств (24) и (25) получим:

(26)

Формула (26) является расчетной для цилиндра.

Для шара коэффициент трения качения получите самостоятельно:

(27)