Литература

1. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики, — М.: Высш. шк., 1965.

2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3-х т. Т.1. — М.: Наука, 1996.

3. Трофимова Т. И. Курс общей физики. — М.: Высш. шк., 1985.

Лабораторная работа N 6

Определение момента инерции цилиндра

и коэффициента трения качения

1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции цилиндра и шара, сравнения момента инерции, полученных экспериментально и теоретически.

2. Теория вопроса

А. Момент инерции материальной точки определяется произведением ее массы на квадрат радиуса вращения:

J _i= m_i r_i² (1)

У реального тела разные точки находятся на различном расстоянии от оси вращения, поэтому все моменты инерции материальных точек суммируются:

или

, (2)

где dm – масса бесконечно малого элемента твердого тела.

Т. к. m = V, где  — плотность вещества, V — объем тела, то dm = dV, где dV — объем элемента тела.

Тогда формула (2) примет вид:

(3)

Рис. 1

В качестве примера рассмотрим вывод момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 1).

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r.

Объем такого слоя равен:

DV = вrdr, где в – толщина диска.

Диск однороден,  = const.

Согласно формуле (3) имеем:

(4)

Наконец, введя массу диска m, равную произведению плотности  на объем диска в R², получим:

(5)

В случае если ось ( перпендикулярна к диску, но проходит через его край (рис. 1), момент инерции определяется путем использования теоремы Штейнера. Теорема Штейнера формулируется следующим образом: момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведению массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J = J₀ + m d² (6)

Так, как, а d = R, то

(7)

Выведем моменты инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Для определения момента инерции шара относительно центральной оси  разобьем его на множественные элементарные диски (толщиной dh), параллельные плоскости XOУ (рис. 2).

Рис. 2

d h = r d   Rcos  d  где r = Rcos

Масса элементарного диска радиусом r, равна:

dm =   r²dh.

Момент инерции элементарного диска радиуса r и массой dm относительно оси О равен:

(8)

Момент инерции относительно оси О получаем, суммируя моменты инерции элементарных дисков и переходя к пределу суммы от О до (для полусферы).

J_{полусферы} (9)

J_{полуcферы} (10)

Для сферы момент инерции равен

I_сферы (11)

Объем сферы , тогда

I_сферы (12)

Формула (12) определяет момент инерции шара (сферы) при его вращении вокруг центра массы. Если шар вращается вокруг оси, не проходящей через центр массы, то его момент инерции определяется по теореме Штейнера (5).

Б. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси с угловой скоростью , равна

(13)

Если тело, вращаясь, еще и движется поступательно, (плоское движение), то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Е_к= + (14)

Определение момента инерции шара в данной работе производится по времени скатывания шара с наклонной плоскости (рис. 3).

Рис. 3

В верхней точке А наклонной плоскости кинетическая энергия шара равна нулю, потенциальная энергия равна mgh. В нижней точке (В) наклонной плоскости потенциальная энергия шара равна нулю, кинетическая энергия

Е_К =