2.3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной и вязкой жидкости
В работе [1] для установившегося движения идеальной жидкости закон сохранения энергии был получен в следующем виде:
(2.18)
Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения механической энергии единичной массы жидкости. Следовательно, при установившемся движении невязкой, несжимаемой (идеальной) жидкости полная механическая удельная (т.е. отнесенная к единице количества жидкости) энергия потока остается постоянной величиной вдоль линии тока.
Для элементарной струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли обычно записывают в виде энергий, отнесенных к единице веса жидкости (уравнение (2.18) разделим на g):
(2.19)
Здесь w – скорость в рассматриваемом сечении элементарной струйки, p – давление в том же сечении, z – геометрическая высота расположения этого сечения относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения, – плотность жидкости.
В
гидравлике энергия, отнесенная к единице
веса жидкости, называется напором и
измеряется высотой столба жидкости. В
уравнении Бернулли (2.19)
– скоростной напор, характеризует
кинетическую энергию элементарной
струйки данного сечения;
– пьезометрический
напор; z
– геометрический напор. Сумма
пьезометрического и геометрического
напоров называется статическим напором,
который характеризует потенциальную
энергию данного сечения элементарной
струйки. Следовательно, физический
смысл уравнения Бернулли можно
сформулировать следующим образом: сумма
скоростного, пьезометрического и
геометрического напоров (полный
гидродинамический напор) в любом сечении
элементарной струйки невязкой жидкости
есть величина постоянная. Из уравнения
Бернулли следует, что увеличение
какой-либо составляющей полного
гидродинамического напора (например,
скоростного напора) приведет к изменению
другой составляющей (например,
пьезометрической) и наоборот.
Таким образом, уравнение Бернулли является механическим выражением закона сохранения и превращения энергии применительно к движущейся идеальной жидкости. Вышесказанное представим в виде диаграммы (рис. 2.7). Для этого запишем уравнение Бернулли для двух сечений элементарной струйки невязкой жидкости:
(2.20)
В струйке идеальной жидкости полная удельная энергия по длине струйки постоянна.
Рис. 2.7. Диаграмма Бернулли
для элементарной струйки идеальной жидкости
Для измерения скоростного напора используется пьезометрическая трубка и трубка Пито (рис. 2.8).
Реальные жидкости вязкие. Движение реальной жидкости ввиду её вязкости сопровождается затратой части энергии на преодоление трения (рис. 2.9).
Это обстоятельство можно учесть, введя дополнительный член в уравнение Бернулли:
(2.21)
где
– потеря напора жидкости между сечениями
1–2 элементарной струйки.
Рис. 2.8. Измерение скоростного напора жидкости с помощью:
1 – пьезометрической трубки; 2 – трубки Пито
Рис. 2.9. Диаграмма Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
По физическому смыслу представляет собой удельную работу сил сопротивления. Потеря напора по длине струйки увеличивается в общем случае непропорционально длине. Количественно зависит от физической природы жидкости. В вязкой жидкости энергия по длине элементарной струйки уменьшается, переходя в результате трения в тепловую.