2. Элементы финансовой математики
А. Простой и сложный процент
Пусть некто внес в банк сегодня 100 руб. под 50% годовых. Очевидно, что через год1 на счете будет сумма вклада плюс процент на нее. Последний исчисляется умножением процентной ставки на величину вклада (100*0,5). Итого получаем:
100+0,5*100=100(1+0,5)=150
Решим задачу в общем виде, обозначив начальную сумму вклада - K0, процентную ставку - i и сумму через год - K1. Тогда имеем:
K1=K0+iK0=K0(1+i)
Если начиная со второго года банк начисляет процент только на первоначально вложенную сумму, то такой процент называется простым. В этом случае, вложив 100 руб. под 50% годовых, мы через два года получаем на счете 200 руб. Расчет таков:
100+0,5*100+0,5*100=100(1+2*0,5)=200
Обозначив сумму, которая будет на счете через два года – K2, получаем в общем виде:
K2=K0+iK0+iK0=K0(1+2i). Следовательно, через n лет имеем на счете:
Kn=K0(1+ni)
Если, начиная со второго года, банк начисляет процент на всю накопленную ранее сумму, то такой процент называется сложным. Вернемся к нашему условному примеру с вложением 100 руб. под 50% годовых. Как уже было установлено, мы имеем на счете через год: K1=100(1+0,5)=150. В следующем году процент начисляется уже на 150 руб. Следовательно, через два года на счете будет:
K2=150(1+0,5)=100(1+0,5)(1+0,5)=100(1+0,5)2=225
В общем виде получаем: K2=K0(1+i)2. Таким образом, через n лет сумма на счете (Kn) будет:
Kn=K0(1+i)n
Усложним модель. До этого предполагалось, что деньги вносятся на счет один единственный раз. Теперь допустим, что некто ежегодно вносит в банк одну и ту же сумму (K руб.) под i% годовых (начисляется сложный процент).
В качестве примера предположим, что Вы решили копить деньги к отпуску, для чего первого числа каждого месяца вкладываете в банк K руб. Банк платит по вкладам i% в месяц. Первый взнос сделан 1 сентября, второй – 1 октября и т.д. вплоть до 1 июля, когда Вы больше ничего не вкладываете, а снимаете деньги со счета и уезжаете отдыхать. Итак, подсчитаем:
Первого сентября на счет положено K руб.:
Дата |
Сумма на счете |
1 сентября |
K |
Первого октября эта сумма превратится в K(1+i), но Вы докладываете еще K руб., и всего на счете оказывается K(1+i)+K руб.:
Дата |
Сумма на счете |
1 сентября |
K |
1 октября |
K(1+i)+K |
К первому ноября сентябрьские деньги пролежали на счете два месяца, превратившись в K(1+i)2, октябрьские K руб., будучи на счете один месяц, превратились в K(1+i), кроме того K руб. вносятся дополнительно. Всего, таким образом, Вы имеете на счете K(1+i)2+K(1+i)+K руб.:
Дата |
Сумма на счете |
1 сентября |
K |
1 октября |
K(1+i)+K |
1 ноября |
K(1+i)2+K(1+i)+K |
Декабрь, январь и т.д. пропустим. Наступает 1 июля. К этому времени сентябрьские деньги пробыли на счете 10 месяцев и превратились в K(1+i)10, соответственно деньги, внесенные 1 октября, стали K(1+i)9. И т.д. Последний раз K руб. были вложены 1 июня, т.е. превратились в K(1+i) руб. Поэтому Вы закрываете счет, имея K(1+i)10+K(1+i)9+…+K(1+i) руб.:
Дата |
Сумма на счете |
1 сентября |
K |
1 октября |
K(1+i)+K |
1 ноября |
K(1+i)2+K(1+i)+K |
… |
… |
1 июля |
K(1+i)10+ K(1+i)9+…+K(1+i) |
Рассмотренный пример – частный случай. Если же подобная операция продолжается n лет (временных периодов), то в конце срока сумма на счете (Kn) будет:
Kn=K(1+i)+K(1+i)2+...+K(1+i)n
Перед нами геометрическая прогрессия, сумма членов которой (Sn) исчисляется по формуле:
где b - первый член прогрессии [в нашем примере: K(1+i)], q - знаменатель (общий множитель) прогрессии (у нас: 1+i), а n - число членов прогрессии.
Следовательно, в нашем случае:
Все приведенные расчеты называются нахождением будущей стоимости (FV). Следовательно: Kn=FVn.