2.2. Цилиндрические координаты

2 .2.1. В пространстве точка однозначно определяется тройкой (, , z), где (, )  полярные координаты проекции точки на плоскость Oxy, z  аппликата точки (рис. 2.2). Тройка (, , z) называется цилиндрическими координатами точки.

2.2.2. Существует очевидная связь между прямоугольной декартовой системой координат в пространстве и цилиндрическими координатами:

где 0, <.

2.3. Сферические координаты

2 .3.1. В пространстве точка A также однозначно определяется тройкой (, , ), где   длина вектора ,   угол между проекцией вектора на плоскость Oxy и осью Ox,   угол между вектором и положительным направлением оси Oz (рис. 2.3). Тройка (, , ) называется сферическими координатами точки.

2.3.2. Прямоугольные и сферические координаты связаны следующими соотношениями:

где 0, <, 0.

§3. Преобразования координат

Как мы видели в §2, одна и та же точка может быть задана в разных системах координат: прямоугольной, полярной и т.д. При этом мы выписали формулы связей между координатами, когда системы имеют общее начало. Однако, одна и та же точка может быть рассмотрена в разных системах с разными началами, причём в разных одноимённых системах координат.

Перевод координат из одной системы в другую называется преобразованием координат.

Мы ограничимся преобразованиями прямоугольной системы координат.

3.1. Параллельный перенос

3 .1.1. Пусть Oxy и Oxy  такие прямоугольные системы координат на плоскости, что точка O в системе Oxy имеет координаты (x₀, y₀), Ox||Ox, Oy||Oy (рис. 3.1). Тогда, если (x, y)  координаты произвольной точки A в системе Oxy, (x, y)  её же координаты в системе Oxy, то связь между (x, y) и (x, y) имеет вид

(3.1)

Систему Oxy принято называть старой системой, (x, y)  старыми координатами, Oxy  новой системой, (x, y)  новыми координатами, преобразование системы по формулам (3.1)  параллельным переносом, сами формулы  формулами параллельного переноса.

3.1.2. Аналогичная картина складывается в пространстве:

(3.2)

г де (x, y, z)  координаты произвольной точки в системе Oxyz, (x, y, z)  координаты этой же точки в системе Oxyz, (x₀, y₀, z₀)  координаты начала системы Oxyz в системе Oxyz, Ox||Ox, Oy||Oy, Oz||Oz. При этом терминология для переноса на плоскости сохраняется и для пространства.

3.2. Поворот осей

3.1.1. Пусть Oxy и Oxy  такие прямоугольные системы координат на плоскости, что Oxy получена из Oxy поворотом осей вокруг начала О на угол  (рис. 3.2). Тогда, если (x, y)  координаты произвольной точки A в системе Oxy, (x, y)  её же координаты в системе Oxy, то связь между (x, y) и (x, y) имеет вид

(3.3)

Системы Oxy и Oxy  соответственно старая и новая системы, (x, y) и (x, y)  соответственно старые и новые координаты, преобразование системы по формулам (3.3)  поворот осей, сами формулы  формулами поворота осей.

3.2.2. В пространстве поворот системы вокруг начала координат не так прост, как на плоскости. Тем не менее, можно доказать, что произвольный поворот можно получить путём последовательного поворота вокруг осей на некоторые углы. А именно, сначала осуществляется поворот плоскости Oxy вокруг Oz на некоторый угол, получается система Oxyz. Затем осуществляется поворот плоскости в Oxz округ оси Oy, получается система Oxyz. Наконец, осуществляется поворот плоскости Oyz вокруг оси Ox, получается окончательная система Oxyz. Опуская подробности, отметим лишь очевидные формулы поворотов системы вокруг осей Oz, Oy, Ox соответственно на углы , , :