§2. Другие системы координат
Введённые в предыдущем параграфе системы координат не единственные системы, применяемые в математике. Существуют и другие системы. Так, можно отказаться от того, чтобы масштабы на осях были одинаковыми. Также можно отказаться от взаимной перпендикулярности осей. В этих случаях получаются так называемые аффинные системы. Такие системы выходят за рамки нашего рассмотрения. Нам потребуются в дальнейшем (и не только в геометрии) системы другого рода.
2.1. Полярная система координат
2
.1.1.
Возьмём
положительное направление оси Ox
вместе с началом координат. Тогда
положение любой точки A,
отличной от O,
однозначно определяется парой (,
),
где
расстояние от точки O
до точки A
(=|OA|),
угол между положительным направлением
Ox
и лучом OA,
<
(угол измеряется, как правило, в радианах,
но это не совсем обязательно) (рис. 2.1).
При этом предполагается, что измерение угла, как обычно, производится так, что >0, если измерение производится против часовой стрелки, и <0, если измерение производится по часовой стрелки.
Пара (, ) называется полярными координатами точки A, полярный радиус, полярный угол, O полярный полюс, а луч Ox полярная ось.
Как и в прямоугольной декартовой системе координат, запись A(, ) означает, что точка A имеет полярные координаты (, ).
2.1.2. При изображении положения точки A относительно полярной системы координат ось Oy не изображается, а у оси Ox изображается только положительная полуось без стрелки. Для того, чтобы построить точку A(, ) достаточно провести луч OK под углом от луча Ox и отложить точку A на расстоянии от точки O.
П
ример
1. Построить
точку A
.
Решение.
Проведём луч OK
под углом
=
от луча Ox
и отложим точку A
на расстоянии
=3 от точки
O.
2.1.3. Существует очевидная связь между прямоугольной декартовой и полярной системами координат:
(2.1.1)
Э
та
связь легко усматривается из простых
геометрических соображений. Действительно,
если точка A
задана своими полярными и прямоугольными
координатами
A(,
)
и А(xA,
yA),
то xA=
cos,
yA=
sin
(рис. 2.2).
Эту связь можно выразить иначе:
(2.1.2)
Примеры.
2) Дана точка
A
своими полярными координатами. Найдём
её прямоугольные координаты. По формулам
(2.1.1) имеем xA=3cos
=3
=
,
yA=3sin
=3
=
,
то есть
прямоугольные координаты точки A.
3)
Дана точка A(4
,
4) своими прямоугольными координатами.
Найдём её полярные координаты. По
формулам (2.1.2) имеем
=
=8,
tg=
=
,
откуда
=
.
Таким образом,
полярные координаты точки A.
2.1.4.
Упражнения. 1)
Построить точки A
,
B
,
C
,
D
заданные своими полярными координатами.
2) Найти прямоугольные координаты точек предыдущего задания.
3)
Даны точки A(
,
1), B
,
C
,
D(3
,
3) своими прямоугольными координатами.
Найти её полярные координаты.
4) Найти расстояние между точками A и B, заданными своими полярными координатами:
а)
A(3,
0), B
;
б)
A
,
B
;
в)
A
,
B
.
Решение. а) Найдём сначала прямоугольные координаты точек. Для точки A они совпадают с полярными: A(3, 0).
Для
точки B:
xB=4cos
=4
=
2
,
yB=3sin
=4
=2,
то есть (2
;
2)
прямоугольные координаты точки B.
Поэтому
|AB|=
=
.
Ответ: |AB|= .