Глава II. Метод координат

§ 1. Прямоугольная декартова система координат

1.1. Координаты на прямой.

1.1.1. Возьмём произвольную прямую, а на ней  произвольную точку О. Зафиксируем относительно О на прямой луч. Объявим его положительным направлением на прямой. Другое направление будем называть отрицательным. Как правило, прямая изображается горизонтальной, а положительное направление берётся слева направо и отмечается стрелкой (рис. 1.1).

Прямая с выбранным направлением называется осью.

Возьмём произвольную точку E на положительном направлении оси. Объявим отрезок OE единичным. Поставим в соответствие точке О число 0, точке E  число 1. Откладывая от точки E в положительном направлении отрезок EA, равный по длине ОЕ, поставим в соответствие точке А число 2. Откладывая от А в положительном направлении отрезок АВ, равный по длине ОЕ, поставим в соответствие точке В число 3. И т.д., откладывая от точки О n раз отрезок ОЕ, каждый раз совмещая левый конец очередного отрезка с правым концом предыдущего, получим точку N  правый конец последней отложенной точки, которой в соответствие поставим число n (рис. 1.2).

Откладывая относительно О в левом направлении оси точки Е₁, A₁, B₁, …, N₁, симметричные соответственно E, A, B, …, N, поставим им в соответствие числа 1, 2, 3, …, n, соответственно (рис 1.3).

Разбивая каждый из отложенных отрезков на 10 равных частей точками, каждой точке можно поставить в соответствие некоторое однозначно определённое дробное число вида а₀,а₁, где а₀  целая часть числа а₀,а_1, а_1  её дробная часть, равная десятой доли единицы. Так, разделив отрезок АВ на десять равных частей, мы отложим числа 2,1; 2,2; …; 2,9. А разделив отрезок А₁Е₁, получим числа 1,1; 1,2; …; 1,9. Аналогично, разделив 10-е части целых отрезков на 10 равных частей, отложим на оси числа вида а₀,а_1а_2, где а_1а_2  дробная часть числа а₀,а_1а_2, равная сотой доли единицы. Ясно, что продолжая делить на 10 равных частей очередные полученные отрезки, мы можем на оси отложить любую конечную десятичную дробь. Можно показать, что на оси можно отложить любое действительное число. Другими словами, любой точке X оси можно поставить в соответствие однозначно определённое число xR и, обратно, любому числу xR ставится в соответствие однозначно определённая точка X оси. Число x называется координатой точки X. Тот факт, что точка X имеет координату x записывают так: X(x). Ось, у которой точки имеют координаты, называется числовой прямой (осью). Говорят также, что на прямой введена система координат.

1.1.2. Теорема. Если точки A(a) и B(b) заданы своими координатами, то расстояние между ними равно

|АВ|=|ab|=|ba|,

и если точка C(c) делит отрезок АВ в отношении  (то есть =), то c= .

1.1.3. Упражнение. Даны точки A и B своими координатами. Известно, что точка C делит отрезок AB в отношении . Найти длину отрезка AB, координату точки C и координату середины D отрезка AB. Точки A, B и D отметить на координатной оси:

а) A(3), B(1), = ;

б) A(3), B(2), = ;

в) A(0), B(4), = .

Решение. а) По теореме 1.1.2 имеем

|АВ|=|ab|,

где a=3, b=1. Поэтому |АВ|=|31|=|4|=4, то есть |АВ|=4. По той же теореме

c= = =2.

Середина D(d) отрезка АВ делит отрезок АВ в отношении =1. Поэтому

d= = =1.

Ответ: Длина отрезка АВ равна 4, координата точки C равна 2, координата середины отрезка АВ равна 1.