2.3. Упражнения.
2.3.1. Найти линейную комбинацию векторов:
а)
a1=
,
a2=
,
a3=
,
a4=
,
a5=
;
б) a1=(1, 1, 1), a2=(0, 1, 1), a3=(0, 0, 1);
в) a1=(1, 2, 1), a2=(3, 1, 2), a3=(4, 1, 2).
2.3.2. Найти линейную зависимость между векторами:
а) a1=(1, 1, 1), a2=(0, 1, 1), a3=(0, 0, 1), a4=(3, 6, 9);
б) a1=(1, 2, 1), a2=(3, 1, 2), a3=(4, 1, 2), a4=(4, 2, 3);
в) a1=(1, 0, 1), a2=(0, 1, 1), a3=(1, 1, 0), a4=(1, 2, 1).
Решение. а) Составим равенство 1a1+2a2+3a3+4a4=0V и подвергнем его равносильным преобразованиям:
1a1+2a2+3a3+4a4=0V
1(1, 1, 1)+2(0, 1, 1)+3(0, 0, 1)+4(3, 6, 9)=(0, 0, 0)
(1, 1, 1)+(0, 2, 2)+(0, 0, 3)+(34, 64, 94)=(0, 0, 0)
(1+34, 1+2+64, 1+2+3+94)=(0, 0, 0)
(последнюю систему получили вычитанием из второго уравнения первого, и из третьего второго). Таким образом, 1=34, 2=34, 3=34, и если положить 4=1, то 1=2=3=3, и 3a13a23a3+a4=0V искомая линейная комбинация.
Ответ: а) 3a13a23a3+a4=0V.
§3. Базис пространства.
3.1. Понятие базиса и размерности пространства.
3.1.1. Определение. Базисом линейного пространства V называется такая ее линейно независимая упорядоченная система векторов (e1, e2, …, en), что любой вектор пространства V является линейной комбинацией этих векторов. При этом вектора e1, e2, …, en базиса, называются базисными векторами, ei – i-ый базисный вектор.
Базис (e1, e2, …, en) кратко будем обозначать через (e) (соответственно базис (f1, f2, …, fn) через (f) и т.д.).
3.1.2. Предложение. Если (e1, e2, …, en) и (f1, f2, …, fm) базисы пространства V, то n=m. Другими словами, число базисных векторов пространства является постоянным.
3.1.3. Определение. Число базисных векторов пространства V называется размерностью этого пространства и обозначается через dimV. Если dimV – конечное число, то пространство называется конечномерным. В противном случае оно называется бесконечномерным.
3.1.4. Предложение. Если (e1, e2, …, en) – базис пространства V, то любая система из более, чем n векторов пространства V является линейно зависимой.
3.2. Координаты вектора
3.2.1. Предложение. Если вектор x пространства имеет представление в виде линейной комбинации x=1a1+2a2+…+kak линейно независимой системы векторов a1, a2, …, ak, то это представление единственно.
Из 3.2.1 вытекает
3.2.2. Следствие. Любой вектор x пространства имеет единственное представление в виде
x=x1e1+x2e2+…+xnen (3.1)
линейной комбинации базисных векторов e1, e2, …, en пространства.
3.2.3. Определение. Коэффициенты x1, х2, …, хn линейной комбинации (3.1) вектора x называется координатами вектора x в базисе (e). При этом обозначают x=(x1, х2, …, хn). Если мы хотим подчеркнуть, что вектор x задан своими координатами x1, х2, …, хn именно в базисе (e), то будем писать x=(x1, х2, …, хn)e.
3.2.4. Теорема. Пусть даны векторы x=(x1, х2, …, хn)e и y=(y1, y2, …, yn)e линейного пространства V. Тогда x+y=(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn)e и для любого числа x=(x1, x2, …, xn)e. Другими словами, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число их координаты умножаются на это число.
Примеры.
I.
Пусть V
линейное пространство матриц размерности
22.
Тогда векторы e1=
,
e2=
,
e3=
,
e4=
образуют базис этого пространства.
Действительно, во-первых, они линейно
независимы: из 1e1+2e2+3e3+4a4=0V
следует α1=α2=α3=α4=0,
так как имеет место следующая цепочка
равносильностей:
1e1+2e2+3e3+4a4=0V 1 +2 +3 +4 =
+
+
+
=
=
Во-вторых,
любой вектор (то есть матрица) является
линейной комбинацией e1,
e2,
e3,
e4:
=a11
+a12
+a21
+a22
.
II. Система векторов
e1=(1, 0, 0, …, 0),
e2=(0, 1, 0, …, 0),
e3=(0, 0, 1, …, 0), (3.2)
………………....,
en=(0, 0, 0, …, 1)
образует
базис арифметического пространства
An.
При этом, если
=(1,
2,
…, n)An,
то
=1e1+2e2+…+nen,
то есть
α1,
α2,
…, αn
– координаты
вектора
в базисе
(е).
Действительно, во-первых, эта система векторов является линейно независимой: из 1e1+2e2+…+nen=0 следует 1=2=…=n=0, так как имеет место следующая цепочка равносильностей
1e1+2e2+…+nen= 1(1, 0, …, 0)+2(0, 1, …, 0)+…+n(0, 0, …, 1)=(0, 0, …, 0)
(1, 0, …, 0)+ (0, 2, …, 0)+…+ (0, 0, …, n)=(0, 0, …, 0)
(1, 2, …, n)=(0, 0, …, 0) 1=0, 2=0, …, n=0.
Во-вторых, если =(1, 2, …, n) – произвольный вектор из An, то
1e1+2e2+…+nen=1(1, 0, …, 0)+2(0, 1, …, 0)+…+n(0, 0, …, 1)=
=(1, 2, …, n)= .
3.2.5. Определение. Базис, составленный из системы векторов (3.2) называется стандартным базисом арифметического линейного пространства.
3.3. Упражнение. Доказать, что векторы a1, a2, a3 упражнения 2.3.2 образуют базис в A3, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.
Решение. а) Согласно определения базиса покажем, что векторы a1, a2, a3 линейно независимы и любой вектор x=(x1, x2, x3)A3 является их линейной комбинацией.
Составим для a1, a2, a3 равенство 1a1+2a2+3a3=0V и подвергнем его равносильным преобразованиям:
1a1+2a2+3a3=0V
1(1, 1, 1)+2(0, 1, 1)+3(0, 0, 1)=(0, 0, 0)
(1, 1+2, 1+2+3)=(0, 0, 0)
и векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Теперь покажем, что существуют 1, 2, 3 такие, что 1a1+2a2+3a3=x, где x=(x1, x2, x3)A3. Действительно,
1a1+2a2+3a3=x
(1,
1+2,
1+2+3)=(x1,
x2,
x3)
Так
как определитель =
=0
системы не равен 0, то эта система
определённая, то есть для данных x1,
x2,
x3
имеется единственное решение (1,
2,
3)
этой системы, которое удовлетворяет
равенству 1a1+2a2+3a3=x.
Это означает, что произвольный вектор
x
из A3
является линейной комбинацией векторов
a1,
a2,
a3.
Наконец, мы видели, что 3a13a23a3+a4=0V,
откуда a4=3a1+3a2+3a3
(см. решение Упражнения
2.3.2а)). Это
означает, что (3, 3, 3)
координаты a4
в базисе (a1,
a2,
a3).
Ответ: а) (3, 3, 3) координаты a4 в базисе a1, a2, a3.