§2. Линейная зависимость векторов.

2.1. Понятие линейной зависимости. Пусть V – линейное пространство над R, {a₁, a ₂, …, a_n} – произвольное множество векторов из V, ₁, ₂, …, _k  некоторые числа.

2.1.1. Определение. Выражение

₁a₁+₂a₂+…+_ka_k (2.1.1)

называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, …, a_k. При этом ₁, ₂, …, _k  коэффициенты соответственно при a₁, a ₂, …, a_n.

Например, если a₁= , a₂= , a₃= , a₄= , то в силу

₁a₁+₂a₂+₃a₃+₄a₄=₁ +₂ +₃ +₄ =

= + + + =

=

их линейной комбинацией является матрица

.

2.1.2. Определение. Система векторов

a₁, a₂, …, a_k (2.1.2)

называется линейно независимой, если из того, что

₁a₁+₂a₂+…+_ka_k=0_V (2.1.3)

следует α₁=α₂=…=α_k=0. В противном случае, система (2.1.2) называется линейно зависимой. Другими словами

2.1.3. Определение. Система векторов (2.1.2) называется линейно зависимой если равенство (2.1.3) возможно при некоторых, не всех равных нулю, ₁, ₂, …, _k (или, другими словами, если существуют не все равные нулю ₁, ₂, …, _k такие, что выполняется равенство (2.1.3)).

Например, система векторов a₁= , a₂= , a₃= , a₄= (линейного пространства M_22(R)) является линейно независимой, а система a₁= , a₂= , a₃= , a₄= , a₅=  линейно зависимая.

Действительно, составим для a₁, a₂, a₃, a₄ равенство (2.1.3): ₁a₁+₂a₂+₃a₃+₄a₄=0_V. Оно равносильно равенству

= , (2.1.4)

(в силу выписанной выше линейной комбинации матриц a₁, a₂, a₃, a₄). Равенство (2.1.4) равносильно системе уравнений

которая в свою очередь равносильна системе

(первое уравнение вычли из второго, второе  из третьего, третье  из четвёртого), откуда ₁=₂, ₂=₃, ₃=₄, то есть ₁=₂=₃=₄, подставляя которое в первое уравнение, получаем 5₁=0, то есть ₁=0. Но тогда ₁=₂=₃=₄=0, и матрицы a₁, a₂, a₃, a₄ (векторы в M_22(R)) линейно независимы.

Для доказательства линейной зависимости векторов a₁= , a₂= , a₃= , a₄= , a₅= составим для них равенство (2.1.3): ₁a₁+₂a₂+₃a₃+₄a₄+₅a₅=0_V, которое приводит к аналогу равенства (2.1.4):

= ,

равносильного системе

которая в свою очередь равносильна системе

(снова первое уравнение вычли из второго, второе  из третьего, третье  из четвёртого), откуда ₁=₂, ₂=₃, ₃=₄, то есть ₁=₂=₃=₄, подставляя которое в первое уравнение, получаем 5₁+10₅=0, то есть ₁=2₅. Положим ₅=1. Тогда ₁=₂=₃=₄=2, и равенство (2.1.3) для a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ принимает вид 2a₁2a₂2a₃2a₄+a₅=0_V. Это означает, что a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ линейно зависимы (существуют не все равные нулю ₁, ₂, ₃, ₄, ₅; точнее, ни один коэффициент при a_i (i=1, 2, 3, 4, 5) не равен нулю).

2.1.4. Определение. Выражение (2.1.3) называется линейной зависимостью между векторами a₁, a₂, …, a_k. Найти зависимость между векторами a₁, a₂, …, a_k  это значит найти ₁, ₂, …, _k, не все равные нулю, в выражении (2.1.3).

Так, 2a₁2a₂2a₃2a₄+a₅=0_V  линейная зависимость между векторами a₁= , a₂= , a₃= , a₄= , a₅= .

2.2. Простейшие свойства линейной зависимости.

2.2.1. Теорема (о простейших свойствах линейной зависимости). Линейная зависимость векторов обладает следующими свойствами:

1º. Система из одного ненулевого вектора линейно независима.

2º. Система векторов, содержащая нулевой, линейно зависима.

3º. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор этой системы является линейной комбинацией остальных.

Именно, если a₁, a₂, …, a_k линейно зависимы, то существуют не все равные нулю числа ₁, ₂, …, _k такие, что имеет место равенство (2.1.3). Тогда те векторы a_i, коэффициенты при которых не равны нулю (_i≠0), являются линейными комбинациями остальных. Например, если ₁≠0, то a₁= a₂ a₃… a_k, то есть a₁ является линейной комбинацией остальных векторов a₂, a₃, …, a_k.

Так, для векторов a₁= , a₂= , a₃= , a₄= , a₅= имеем a₅=2a₁+2a₂+2a₃+2a₄, или a₁=a₂a₃a₄ a₅, и, вообще, a_i=a_ka_la_m a₅, где {i, k, l, m}={1, 2, 3, 4}.