Доцент Мухаметьянов Ильдар Талгатович
Глава I. Начальные сведения о линейных пространствах.
§ 1. Понятие линейного пространства. Примеры, простейшие свойства.
1.1. Понятие линейного пространства. Примеры.
1.1.1. Определение. Пусть R множество действительных чисел. Линейным пространством над R называется множество V, элементы которого можно складывать (то есть для любых элементов x и у из V ставится в соответствие однозначно элемент x+у из V ) и умножать на число (то есть для любых числа и x из V ставится в соответствие однозначно элемент x из V), при этом выполняются следующие свойства:
1. Для любых x и y из V
x+y=y+x.
2. Для любых x, y и z из V
(x+y)+z=x+(y+z).
3. В V существует такой элемент 0V, что для любого x из V
x+0V=x.
4. Для любого x из V существует yV такой, что
x+y=0V.
5. Для единицы 1 из R и любого x из V
1 x = x.
6. Для любых чисел , и x из V
( x)=()x.
7. Для любых чисел , и x из V
(+)x=x+x.
8. Для любых числа и x, y из V
(x+y)=x+y.
Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство иногда называется векторным пространством. Элемент 0V из условия 3) называется нулевым вектором линейного пространства V, элемент y из условия 4) называется противоположным к x и обозначается через x.
Условия 1 8 из определения называются аксиомами линейного пространства. При этом важно не только то, что векторы можно складывать и умножать на число, но и то, что результаты сложения и умножения на число снова принадлежат V: для любых числа и x, уV снова имеем x+уV и xV.
В обозначении нуля 0V векторного пространства обычно индекс V опускается, так как из контекста обычно ясно, о каком нуле идёт речь.
1.1.2. Примеры. I. Рассмотрим множество C(a, b) непрерывных на интервале (a, b) функций действительной переменной. Относительно сложения и умножения на число это множество образует линейное пространство над R. Действительно, как известно, если f, gC(a, b) (то есть функции f и g непрерывны на интервале C(a, b)) то f+gC(a, b) и fC(a, b) для любого числа (то есть функции f+g и f снова непрерывные на интервале C(a, b) функции). При этом выполнены все аксиомы 1 8 линейного пространства:
1. Для любых f и g из C(a, b)
f+g=g+f.
2. Для любых f, g и h из C(a, b)
(f+g)+h=f+(g+h).
3. В C(a, b) существует такой элемент 0C(a, b), что для любого f из C(a, b)
f+0C(a, b)=f.
Ясно, что 0C(a, b) нулевая функция: 0C(a, b)(х)=0 для любого хR.
4. Для любого f из C(a, b) существует gC(a, b) такой, что
f+g=0C(a, b).
Ясно, что роль противоположной функции к f играет функция f.
5. Для единицы 1 из R и любого f из C(a, b)
1f=f.
6. Для любых чисел , и функции f из C(a, b)
(f)=()f.
7. Для любых чисел , и функции f из C(a, b)
(+)f=f+f.
8. Для любых числа и функций f, g из C(a, b)
(f+g)=f+g.
II. Пусть An множество всех упорядоченных наборов чисел:
An={(1, 2, …, n)| iR, i =1, …, n}.
Тогда An относительно операций сложения и умножения на число , определённых соответственно по правилам
(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)=(1+1, 2+2, …, n+n),
(1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)
образует линейное пространство над R, которое называется арифметическим линейным пространством над R. Действительно, для любых элементов (1, 2, …, n) и (1, 2, …, n) их сумма (1+1, 2+2, …, n+n) и произведение (1, 2, …, n) на число лежат в An. Далее:
1.
Для любых
=(1,
2,
…, n)
и
=(1,
2,
…, n)
имеем
+ =(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)=(1+1, 2+2, …, n+n) =
=(1+1, 2+2, …, n+n)=(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)= + ,
то есть для любых и из An имеем
+ = + .
2.
Для любых
=(1,
2,
…, n),
=(1,
2,
…, n)
и
=(1,
2,
…, n)
имеем
( + )+ =((1, 2, …, n)+(1, 2, …, n))+(1, 2, …, n)=
(1+1, 2+2, …, n+n)+(1, 2, …, n) =
=((1+1)+1, (2+2)+2, …, (n+n)+n)=
=(1+(1+1), 2+(2+2), …, n+(n+n))=
=(1, 2, …, n)+(1+1, 2+2, …, n+n) = +( + ),
то есть для любых , и из An имеем ( + )+ = +( + ).
3.
Роль нулевого вектора играет
=(0,
0, …, 0), где 0
нуль: для любого
=(1,
2,
…, n)
имеем
+ =(1, 2, …, n)+(0, 0, …, 0)=(1+0, 2+0, …, n+0)=(1, 2, …, n),
то есть + = .
4. Для вектора =(1, 2, …, n) ему противоположным будет являться (1, 2, …, n):
+( )=(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)=(1+(1), 2+(2), …, n+( n))=
=(0, 0, …, 0)= ,
то есть +( )= .
5. Для единицы 1 из R и любого из An имеем
1 =1(1, 2, …, n)=(11, 12, …, 1n)=(1, 2, …, n)= ,
то есть 1 = .
6. Для любых и из R и =(1, 2, …, n) из An имеет место
( )=(1, 2, …, n)=((1), (2), …, (n))=
=(()1, ()2, …, ()n)=()(1, 2, …, n)=() ,
то есть ( )=() .
7. Для любых и из R и =(1, 2, …, n) из An имеет место
(+) =((+)1, (+)2, …, (+)n)=(1+1, 2+2, …, n+n)=
=(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)= + ,
то есть (+) = + .
8. Для любых из R и =(1, 2, …, n) и =(1, 2, …, n) из An имеет место
( + )=(1+1, 2+2, …, n+n)=((1+1), (2+2), …, (n+n))=
(1+1, 2+2, …, n+n)=(1, 2, …, n)+( 1, 2, …, n)=
=(1, 2, …, n)+(1, 2, …, n)= + ,
то есть ( + )= + .
III. Множество всех матриц фиксированной размерности mn образует линейное пространство. Действительно, в результате сложения двух матриц размерности mn и умножения такой же матрицы на число получается матрица размерности mn. При этом сложение матриц и умножение матрицы на число обладает всеми 8 свойствами из определения линейного пространства (см. Алгебра-I, Гл. I). Это линейное пространство будем обозначать верез Mmn(R). Например, множество матриц 22 образует линейное пространство M22(R). Множество матриц 23 это уже другое линейное пространство M23(R). По существу, An линейное пространство M1n(R) матриц размерности 1n.
1.2. Простейшие свойства линейного пространства. Из введённого определения линейного пространства вытекают его простейшие свойства.
1.2.1. Предложение. Справедливы следующие простейшие свойства линейного пространства:
1. Нулевой нулевой вектор 0V единствен.
2. Для любого вектора a его противоположный вектор a единствен.
3. Для любого вектора a
(a)=a.
4. Для любых векторов a и b линейного пространства
(a+b)=(a)+(b).
5. Для любых векторов a, b линейного пространства уравнения x+a=b и a+x=b имеют единственное решение b+(a).
1.2.2. Определение. Для векторов a и b пространства V элемент b+(a) обозначается через ba и называется разностью векторов b и a.
В связи с введённым определением свойство 4 предложения 1.2.1 принимает вид (a+b)=ab.
Отметим, что эти свойства выполняются для любых множеств, элементы которого можно складывать, и при этом выполняются аксиомы 1 4. Кроме сформулированных этих свойств линейного пространства можно сформулировать и доказать следующие простейшие свойства, специфичные для линейных пространств (специфика заключается в возможности элементы линейного пространства умножать на числа).
1.2.3. Теорема. Справедливы следующие (дальнейшие) простейшие свойства линейного пространства V:
1. В произвольном линейном пространстве сумма вида (...((x1+x2)+x3)+...)+xs не зависит от расстановки скобок. Поэтому в такого рода суммах скобки принято опускать: x1+x2+...+xs1+xs.
2. Для любого xV имеет место равенство 0x=0V.
3. Для любого R имеет место равенство 0V=0V.
4. Если x=0V, то либо =0, либо x=0V.
5. Для любого xV и R имеет место равенство ()x= (x), в частности, (1)x= x.
6. Для любых , 1, 2, …, nR и x, x1, x2, …, xnV имеют место равенства (12…n)x=1x2x…nx
и
(x1x2…xn)= x1x2…xn.
7. Для любых x1, x2, …, xnV имеет место равенство
(x1+x2+…+xn)=x1x2…xn.