1. Задания
Данные для каждого варианта индивидуальных заданий приведены ниже. Во всех вариантах предлагается выполнить следующие задания:
1. Даны точки A и B своими координатами. Известно, что точка C делит отрезок AB в отношении . Найти длину отрезка AB, координату точки C и координату середины D отрезка AB. Для точек A, B и С на прямой и плоскости сделать чертёж.
2. Точка A дана своими:
а) полярными; б) цилиндрическими; в) сферическими
координатами. Найти её прямоугольные координаты.
3. Найти расстояние между точками A и B, заданными своими:
а) полярными; б) цилиндрическими; в) сферическими
координатами.
4. Точка A задана своими координатами в прямоугольной системе координат Oxy. Система Oxy подвергается параллельному переносу, O начало новой системы Oxy. Найти координаты точки A в новой системе.
5. Известны: прямоугольные координаты точки A в новой системе, которая получена параллельным переносом; координаты начала O в старой системе. Найти координаты A в старой системе.
6. Новая прямоугольная система Oxy получается поворотом вокруг начала О на угол . Известны новые координаты точки А. Найти старые.
7. Новая прямоугольная система Oxy получается поворотом вокруг начала О на угол . Известны старые координаты точки А. Найти новые. теме.
8. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от точек A и B. теме.
9. См. ниже в соответствующем варианте.
10. Найти линейную зависимость между векторами , , и .
11. На плоскости даны векторы и . Доказать, что они образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе.
12. В пространстве даны векторы , и . Доказать, что они образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.
13. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные и соответственно; зная длины векторов , и , вычислить скалярные произведения.
14.
Найти вектор
,
если он перпендикулярен векторам
и
и удовлетворяет условию (
,
)=d.
15.
Вычислить внутренние углы треугольника
ABC
и убедиться, что этот треугольник
равнобедренный, если известны вектора
и
.
16. Найти косинус угла между векторами и , если известны координаты точек A, B и C.
17. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
18.
Даны векторы
,
и
.
Вычислить: а) векторное произведение
векторов
и
и его длину; б) образует ли тройка векторов
(
,
,
)
базис в пространстве?
19. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3.
2. Данные по вариантам Вариант 1
1. а) A(2), B(4), = ; б) A(2; 1), B(4; 1), = ;
в) A(3; 1; 4), B(4; 1; 2), = .
2.
а)
A
; б)
A
; в)
A
.
3.
а)
A
,
B
; б)
A
,
B
;
в)
A
,
B
.
4. A(2; 3), O(3, 2).
5. A(3; 2), O(3, 2).
6. = , A(3; 2).
7. = , A(3; 2).
8. A(4; 2), B(3, 1).
9.
Дан треугольник ABC,
E,
F
и G
середины AB,
BC
и AC
соответственно. Выразить
,
,
через
=
,
=
.
10. =(0, 1, 1), =(1, 2, 1), =(2, 2, 1), =(1, 3, 5).
11. =(1, 3), =(1, 2), =(3, 4).
12. =(2; 1; 2), =(1; 1; 1), =(1; 1; 2), =(1; 6; 3).
13. = , = , | |=3, | |=5, | |=8, вычислить:
а) (3 2 , +3 ); б) (2 + )2.
14. =(2, 3, 1), =(1, 2, 3), =2 + , d=6.
15. =(2, 1, 2), =(3, 1, 4).
16. A(1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(3, 4, 5).
17.
=
+2
,
=3
,
|
|=1,
|
|=2,
(
)=
.
18. =(2, 3, 1), =(1, 0, 1), =(2, 2, 2).
19. A1(4, 2, 6), A2(2, 3, 0), A3(10, 5, 0), A4(5, 2, 4).