3.3. Смешанное произведение векторов и его свойства.

3.3.1. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению ([ , ], ) вектора [ , ] (векторного произведения векторов и ) на вектор .

Смешанное произведение векторов , и обозначается через ( , , ). Таким образом, по определению ( , , )=([ , ], ).

Векторы , и называются сомножителями в смешанном произведении.

3.3.2. Теорема. Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов , и имеет место равенство

( , , )=( , , )=( , , )=( , , )=( , , )=( , , ).

2^о. Для любого числа  и любых векторов , и имеют место равенства

( , , )=( ,  , )=( , ,  ).

3^о. Для любых векторов , , и имеют место равенства

( + , , )=( , , )+( , , ),

( , + , )=( , , )+( , , ),

( , , + )=( , , )+( , , ).

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), =(с_x, с_y, с_z) то

( , , )= (3.7)

В частности, векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

5^о. Если V  объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , , то ( , , )=V, причём берётся знак «+», если тройка ( , , )  правая, знак «»  если эта тройка  левая.

3.3.3. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей (как и соответствующие свойства скалярного и векторного произведений). Мы их приводить не будем. При желании читатель сам может сформулировать эти обобщения.

3.3.4. Из свойства 4^о вытекает геометрический смысл смешанного произведения: по абсолютной величине смешанное произведение векторов , , равно объёму V параллелепипеда, натянутого на эти векторы:

|( , , )|=V.

3.3.5. Наконец, из свойства 4^о также вытекает, что векторы , , образуют базис в пространстве тогда и только тогда, когда их смешанное произведение не равно 0.

3.3.6. Упражнения.

1) Найти объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , ; выяснить, образуют ли эти векторы базис в пространстве:

а) =(3; 1; 2), =(2; 1; 1), =(1; 1; 2);

б) =(1; 2; 3), =(4; 5; 6), =(7; 8; 9);

в) =(1; 1; 1), =(2; 1; 1), =(1; 2; 3).

Решение. а) По свойству 3.3.4 объём V параллелепипеда, натянутого на векторы , , , можно вычислить по формуле V=|( , , )|. Так как по свойству 4^о

( , , )= = =6,

то V =6. В частности, по 3.3.5 , , образуют базис в пространстве.

2) Найти объём тетраэдра ABCD и длину её высоты, опущенной из вершины D:

а) A(1; 2; 3), B(3; 2; 4), C(8; 1; 3), D(2; 4; 1);

б) A(2; 2; 3), B(3; 4; 2), C(3; 1; 3), D(3; 4; 1);

в) A(1; 4; 4), B(8; 1; 4), C(5; 1; 4), D(2; 3; 4).

Решение. а) Из школьного курса геометрии известно, что если тетраэдр и треугольная призма имеют одинаковые основание и высоту, то объёмы V_тетр и V_пр соответственно тетраэдра и призмы относятся как V_тетр= V_пр. Отсюда вытекает, что V_тетр= V_пар, где V_пар  объём параллелепипеда, натянутого на векторы , , (рис.3.3). Имеем =(4, 4, 7), =(9, 1, 6), =(3, 2, 4),