2.2. Репер.

2 .2.1. Особый интерес представляют базисы на плоскости и в пространстве, состоящие из попарно ортогональных векторов единичной длины. Они называются реперами (или ортами) на плоскости или в пространстве. Векторы репера на плоскости обозначают через и , причём сам репер обозначают в виде упорядоченной пары ( , ) (вектор первым!), и эта пара  правая (рис. 2.2, а)).

Векторы репера в пространстве обозначают через , и , сам репер обозначают в виде упорядоченной тройки ( , , ) (вектор первым,  вторым), и эта тройка  правая (рис. 2.2, б)).

2.2.2. Таким образом, произвольный вектор на плоскости представим единственным образом в виде =a₁ +a₂ , в пространстве  в виде =a₁ +a₂ +a₃ , и (a₁, a₂)  координаты вектора в репере ( , ) на плоскости и (a₁, a₂, a₃)  координаты вектора в репере ( , , ) в пространстве (рис.2.3)

Впредь, если в обозначении вектора через его координаты в некотором базисе не указано, в каком, то будем предполагать, что они заданы в репере.

2.3. Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат

2.3.1. Введём на плоскости (в пространстве), где рассматриваются векторы, прямоугольную декартову систему координат. Отложим вектор от начала координат: = . Тогда координаты конца A вектора называются координатами вектора . Их будем обозначать через (a_x, a_y) на плоскости и через (a_x, a_y, a_z)  в пространстве (рис.2.4).

2.3.2. «Привяжем» реперы к системе координат так, чтобы направление совпало с положительным направлением оси Ох, направление  с положительным направлением оси Оу и направление  с положительным направлением оси Оz (рис. 2.5). Тогда легко видеть, что если имеет координаты (a_x, a_y) в прямоугольной декартовой системе на плоскости и (a_x, a_y, a_z)  в пространстве, то =a_x +a_x на плоскости и =a_x +a_y +a_z в пространстве. Так что координаты в репере и в прямоугольной декартовой системе координат совпадают. Поэтому записи =(a_x, a_x) и =(a_x, a_y, a_z) одновременно означают, что имеет координаты (a_x, a_x) на плоскости и (a_x, a_y, a_z) в пространстве и такие же координаты в репере, соответственно на плоскости и в пространстве.

2.3.4. Если вектор =(a_x, a_x) ( =(a_x, a_y, a_z)) задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (в пространстве), то длину этого вектора можно вычислить по формуле | |= (| |= ).

§3. Произведения векторов

3.1. Скалярное произведение векторов и его свойства.

3.1.1. Скалярным произведением векторов и называется число | || |cos( ). Векторы и называются сомножителями в скалярном произведении.

Скалярное произведение векторов и обозначается через ( , ). Таким образом, по определению

( , )=| || |cos( ) (3.1)

3.1.2. Если и коллинеарны, то ( , )=| || |. При этом знак «+» берётся в случае, когда , и «»  когда . В частности, =( , )= .

Наконец, векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: ( , )=0.

3.1.3. Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов и имеет место равенство

( , )=( , ).

2^о. Для любого числа  и любых векторов и имеют место равенства

( , )=( , ),

( ,  )=( , ).

3^о. Для любых векторов , и имеют место равенства

( + , )=( , )+( , ),

( , + )=( , )+( , ).

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), то

( , )=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z. (3.2)

Аналогичное свойство справедливо и для векторов на плоскости (только будет отсутствовать слагаемое a_zb_z). В частности, a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0  условие ортогональности векторов и .

3.1.4. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:

(₁ +₂ +…+_k , )=₁( , )+₂( , )+…+_k( , ),

( , ₁ +₂ +…+_k )=₁( , )+₂( , )+…+_k( , )

Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,

( + ,  + + )=

= ( , )+ ( , )+( , )+( , )+( , )+( , ).

3.1.5. Если известны координаты векторов и , то можно определить косинус cos( ) угла между ними, а по косинусу  и сам угол ( ). Действительно, для векторов в пространстве из (3.1) имеем

cos( )= ,

куда подставляя (3.2) и | |= , = , получаем

cos( )= (3.3).

Аналогичная формула верна и для векторов на плоскости.