2.1.6. Упражнения.
1
)
Дан треугольник
ABCD.
Точки E,
F
и G
делят в отношении
стороны AB,
BC
и AC,
соответственно (рис 2.2). Выразить
,
и
через
=
,
=
:
а) =2; б) =3; в) = .
Решение.
а) Выразить
через
и
означает представить
в виде линейной комбинации векторов
и
:
=
+
,
причём в этом представлении определить
и .
Имеем
=
+
.
Ясно, что
=
.
Далее, так как
==2,
то AG=2GC,
то есть
=2
=2
.
Отсюда
=2
+(
),
то есть
=
+2
.
Очевидно,
=
+
=
+
,
то есть
=
+
.
Наконец, = + =2 + =3 , то есть =3 .
Ответ: а) = +2 ; = + ; =3 .
2) Найти линейную зависимость между векторами:
а) =(4; 1), =(1; 1), =(2; 1);
б) =(3; 1), =(2; 2), =(5; 8);
в)
=(3;
1;
2),
=(2;
1; 1),
=(1;
1;
2),
=(4;
8; 3);
г) =(1; 1; 1), =(2; 1; 1), =(1; 2; 3), =(4; 2; 3).
Решение. а) Найти линейную зависимость между векторами , и это значит найти , и , не все равные нулю, в выражении
+ + = . (2.1)
Имеем
+ + =(4; 1)+(1; 1)+(2; 1)=(4++2; +)
(по 2.1.4). Так как =(0, 0), то (4++2; +)=(0, 0). Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты совпадают. Поэтому приходим к однородной системе
Решаем её:
Таким образом, равенство (2.1) принимает вид +2 + = , где ≠0. Тогда ( +2 + )= . Так как ≠0, то по свойству 6 векторов +2 + = . Это и есть искомая линейная зависимость между векторами , и .
в) Требуется найти , , , в равенстве
+ + + = . (2.2)
Имеем
+ + + =(3; 1; 2)+(2; 1; 1)+(1; 1; 2)+ (4; 8; 3)=
=(3+2++4; ++8; 2++2+3).
С учётом (2.2) приходим к системе и решаем её:
Равенство
(2.2) принимает вид
+
=
,
то есть
+
=
линейная зависимость между векторами
,
,
и
.
Умножая полученную линейную зависимость на 3, можно получить другую (равносильную полученной) линейную зависимость между ними: 16 19 11 +3 = .
Ответ: а) +2 + = ; б) 16 19 11 +3 = .
3) Проверить линейную зависимость векторов:
а) =(4; 1), =(1; 1);
б) =(1; 1), =(2; 2);
в) =(2; 1), =(4; 2);
г) =(1; 1), =(3; 3);
д) =(3; 1; 2), =(2; 1; 1);
е) =(3; 1; 2), =(2; 1; 1), =(1; 1; 2);
ж) =(1; 2; 3), =(4; 5; 6), =(7; 8; 9);
з) =(1; 1; 1), =(2; 1; 1), =(1; 2; 3).
Решение.
а) Применим теорему 2.1.5.
Так как
=
=4,
=
=1,
то
≠
,
и координаты векторов
и
непропорциональны. Следовательно,
векторы
и
линейно независимы (неколлинеарны).
в)
Имеем
=
=
,
=
=
,
то есть
=
,
и векторы линейно зависимы (коллинеарны).
е) Имеем
=
≠0.
Поэтому векторы , и линейно независимы (некомпланарны).
ж) Так как
=
=0,
то векторы линейно зависимы (компланарны).
4)
На плоскости
даны векторы
и
.
Доказать, что они образуют базис на
плоскости и найти координаты вектора
в этом базисе:
а) =(4; 1), =(1; 1), =(2; 1);
б) =(1; 1), =(2; 3), =(2; 3).
Решение. а) Так как и неколлинеарны (см. решение упр 3.а)), то на плоскости они образуют базис (Теорема 2.1.3). Найдём разложение в этом базисе, то есть коэффициенты и в равенстве
= + (2.3)
I способ. Распишем правую часть (2.3):
+ =(4; 1)+(1; 1)=(4+; +).
Тогда
(2.3) принимает вид (4+;
+)=(2;
1)
и мы приходим к системе
Решаем эту систему:
Таким образом, = 2 , то есть (1; 2) координаты вектора в базисе ( , ).
II способ. Найдём сначала линейную зависимость между векторами , , : +2 + = (см. решение упр.2.а)). Отсюда = 2 .
Ответ: а) =(1; 2).
5)
В пространстве
даны векторы
,
и
.
Доказать, что они образуют базис в
пространстве и найти координаты вектора
в этом базисе:
а) =(3; 1; 2), =(2; 1; 1), =(1; 1; 2), =(4; 8; 3);
б) =(3; 1; 2), =(2; 1; 1), =(5; 0; 2), =(3; 1; 3).
Решение. а) Так как векторы , и некомплнарны (см. решение упр 3.е)), то в пространстве они образуют базис (Теорема 2.1.3). Найдём разложение в этом базисе, то есть коэффициенты 1, 2 и 3 в равенстве
=1 +2 +3 (2.4)
I способ. Распишем правую часть (2.4):
1 +2 +3 =(31+22+3; 1+23; 21+2+23).
Тогда (2.4) принимает вид (31+22+3; 1+23; 21+2+23)=(1; 2; 1) и мы приходим к системе и решаем её:
Таким образом, = + + , то есть ( ; ; ) координаты вектора в базисе ( , , ).
II способ. Найдём сначала линейную зависимость между векторами , , , : + = (см. решение упр.3.а)). Отсюда = + + .
Ответ: а) =( ; ; ).