4.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве

4.2.1. Предположим, П  геометрическое место точек, являющееся некоторой поверхностью. Может оказаться, что координаты точек П связаны некоторым соотношением  уравнением

F(x, y, z)=0. (4.7)

Это уравнение называется общим уравнением поверхности П (при этом возможно, что некоторые слагаемые из левой части перенесены в правую).

Если из (4.7) z явно выражается через x и y в виде

z=f(x, y), (4.8)

то уравнение (4.8) называется явным уравнением поверхности П.

Наконец, координаты x, y и z точек поверхности могут быть функциями одних и тех же аргументов u и v:

(4.9)

Уравнения (4.9) называются параметрическими уравнениями поверхности П.

4.2.2. Пример

=R².

 общее уравнение сферы с центром в начале координат О(0, 0, 0) и радиуса R,

 параметрические уравнения сферы.

4.2.3. Как и в случае линии, алгебраические преобразования одного вида уравнения приводят к другому виду. Также, уравнение одной и той же поверхности может быть записано в различных системах координат. Наконец, уравнение одной и той же поверхности может быть задано в одноимённой системе с различными началами и осями.

Глава III. Геометрические векторы

§1. Векторы и основные операции над ними.

1.1. Основные понятия.

1 .1.1. Возьмём некоторый отрезок AB. Зафиксируем начало и конец этого отрезка. Если A  начало, B  конец, то отрезок AB обозначается через , а если B  начало, A  конец, то через . Отрезки и называются направленными отрезками, или векторами. При этом векторы и противоположны друг другу и этот факт обозначают через = . Если  вектор, то говорят, что отрезок AB представляет вектор . Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается через . Считается, что нулевой вектор не имеет направления. При изображении вектора начало отмечается точкой, конец  стрелкой (рис.1.1).

Длина отрезка AB называется длиной вектора и обозначается через | |. Длина вектора называется также его модулем, нормой. Длина нулевого вектора равна нулю.

Если длина вектора равна единице, то вектор называется единичным.

1.1.2. Два (или более) вектора называются коллинеарными, если они параллельны (то есть представляющие их отрезки параллельны). В противном случае они называются неколлинеарными.

Три (или более) вектора называются компланарными, если он параллельны одной плоскости. В противном случае они называются некомпланарными.

Векторы сонаправлены, если они коллинеарны и их направления совпадают. Векторы противоположно направлены, если они коллинеарны и их направления противоположны. Тот факт, что векторы и сонапралены, обозначается через , противоположно направлены  через . Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

1 .1.3. Два вектора и называются равными, если они сонаправлены и их длины совпадают. Тот факт, что векторы и равны, обозначается через = .

В связи с введённым понятием равных векторов, вектор можно обозначать без привязки к началу и концу: , , …, , , , , , …. Также, один и тот же вектор можно откладывать из любой точки (рис. 1.2).

1.1.4. = тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABDC  параллелограмм (рис.1.3).

1.1.5. Углом между двумя (ненулевыми) векторами называется наименьший угол между представляющими их отрезками при условии, что векторы отложены из одной точки. Угол между нулевым и любым вектором считается не определённым.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними является прямым. Нулевой вектор считается ортогональным любому вектору.

1.1.6. Говорят, что пара ( , ) неколлинеарных векторов и имеет правую ориентацию, если измерение угла от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки (рис 1.4.а)). Говорят, что тройка ( , , ) некомпланарных векторов , и имеет правую ориентацию, если при проектировании векторов и на плоскость, перпендикулярную , причём начало всех трёх векторов приложены к одной точке этой плоскости, в направлении, параллельном вектору , их проекции и имеют правую ориентацию (рис 1.4.б)).

Ориентация для коллинеарных и компланарных векторов не определена.