3.3. Зеркальное отражение

3 .3.1. Пусть Oxy  прямоугольная система координат. Поменяем направление некоторой оси, скажем, Oy. Получим новую ось Oy такую, что y=y. Если A  произвольная точка с координатами (x, y) в системе Oxy, то её координаты в новой будут (x, y),

где

(3.4)

(рис. 3.3)

Преобразование системы по формулам (3.4)  зеркальное отражение относительно оси Ox, сами формулы  формулы зеркального отображения.

Ясно, что аналогично определяется зеркальное отображение относительно оси Oy:

(3.5)

3.3.2. Следующие формулы

(3.6)

 формулы композиции параллельного переноса и зеркального отображения относительно оси Ox (рис. 3.4).

Ясно, что аналогичные формулы можно выписать для параллельного переноса и зеркальной симметрии относительно оси Oy.

3.3.3. Читатель без труда составит формулы зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей, а также её композиции с параллельным переносом.

3.4. Упражнения

1) Точка A задана своими координатами в прямоугольной системе координат Oxy. Система Oxy подвергается параллельному переносу, O  начало новой системы Oxy. Найти координаты точки A в новой системе:

а) A(3, 4), O=(2, 1);

б) A(4, 2), O=(2, 3);

в) A(2, 5), O=(3, 2).

Решение. а) Применяем формулу (3.1), из которой следует x=xx₀, y=yy₀, где (x₀, y₀)  координаты нового начала координат O. Имеем x₀=2, y₀=1, x=3, y=4. Поэтому x=32=1, y=41=5, то есть (1, 5)  координаты точки A в системе Oxy.

Ответ: (1, 5).

2) Известны: прямоугольные координаты точки A в новой системе, которая получена параллельным переносом; координаты начала O в старой системе. Найти координаты A в старой системе:

а) A(3, 4), O=(2, 1);

б) A(4, 2), O=(2, 3);

в) A(2, 5), O=(3, 2).

Решение. Указание. Известны (x₀, y₀) и (x, y) из формул (3.1). Найти (x, y).

3) Новая прямоугольная система Oxy получается поворотом вокруг начала О на угол . Известны новые координаты точки А. Найти старые:

а) = , A(4, 2);

б) = , A(3, 1);

в) = , A(2, 3).

Решение. а) Применяем формулы (3.3). Имеем = , (x, y)=(4, 2). Поэтому

x=4cos (2)sin =4 +2 =2+ ,

y=4sin +(2)cos =4 2 =2 1,

то есть (2+ , 2 1)  старые координаты точки А.

Ответ: а) (2+ , 2 1).

4) Новая прямоугольная система Oxy получается поворотом вокруг начала О на угол . Известны старые координаты точки А. Найти новые:

а) = , A(4, 2);

б) = , A(3, 1);

в) = , A(2, 3).

Решение. а) В формуле (3.3) имеем = , (x, y)=(4, 2), то есть имеем систему



Решаем последнюю систему:



Далее воспользуемся правилом Крамера:

= =4, ₁= =84 , ₂= =48 ,

x= = =2 , y= = =12 ,

то есть (2 , 12 )  новые координаты точки А.

Ответ: а) (2 , 12 ).

§4. Геометрическое место точек. Уравнения линии и поверхности

4.1. Геометрическое место точек. Уравнения линии на плоскости

4.1.1. Пусть   некоторое множество точек (на плоскости или в пространстве). Тогда говорят, что они образуют геометрическое место точек. Вообще говоря,  может быть произвольным. Но особый интерес представляют случаи, когда  образует на плоскости некоторую линию (или её часть), а в пространстве  линию или поверхность (или их части).

Часто это геометрическое место может быть описано словесно.

Примеры. 1. Геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от концов отрезка  это серединный перпендикуляр к отрезку.

2. Геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки  это окружность (на плоскости) или сфера (в пространстве)

4.1.2. Предположим,   геометрическое место точек, являющееся некоторой линией. Может оказаться, что координаты точек  связаны некоторым соотношением  уравнением

F(x, y)=0. (4.1)

Это уравнение называется общим уравнением линии  (при этом возможно, что некоторые слагаемые из левой части перенесены в правую).

Если из (4.1) y явно выражается через x в виде

y=f(x), (4.2)

то уравнение (4.2) называется явным уравнением линии .

Наконец, координаты x и y точек линии могут быть функциями одного и того же аргумента:

(4.3)

Уравнения (4.3) называются параметрическими уравнениями линии .

4.1.2. Для того, чтобы доказать, что некоторое из уравнений (4.1)  (4.3) является уравнением линии , достаточно доказать, что, во-первых, координаты любой точки линии  удовлетворяют данному уравнению, и, во-вторых, обратно, любая точка, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, принадлежит линии (то есть является точкой линии ).

Пример 3. Найдём различные уравнения окружности. Как отмечено выше, это  геометрическое место точек, равноудалённых от одной (фиксированной) точки. Возьмем систему координат так, чтобы начало координат совпало с данной фиксированной точкой. Пусть точки удалены от начала координат на расстояние R (то есть R  радиус окружности), X(x, y)  произвольная точка окружности. Тогда |OX|= , то есть =R. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем

=R². (4.4)

Обратно, пусть X(x, y)  точка, координаты которой удовлетворяют (4.4). Тогда |R|= . Но  расстояние от точки X до начала координат O. И это справедливо для произвольной точки X, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.4). Значит,  постоянное число и, следовательно, точки X равноудалены от точки O. Поэтому они лежат на окружности радиуса |R|.

Преобразуем уравнение (4.4):

=R²  y²=R²x²  y= .

Мы получили два уравнения вида (4.2). Первое  y= описывает верхнюю часть окружности, второе y=  нижнюю.

Наконец,

(4.5)

 параметрические уравнения окружности. Ясно, что при изменении параметра t в пределах [0, 2) точка с координатами (Rcost, Rsint) пробегает окружность радиуса R с центром (0, 0) (рис. 4.1)

4 .1.3. От параметрических уравнений (4.3) часто можно перейти к уравнениям (4.1) и (4.2) и обратно. В первом случае достаточно из системы (4.3) исключить параметр t.

Например, если кривая задана уравнениями

то выразив t через x (t= ) и подставив его в y, получаем y=( )³=x , то есть y=x  уравнение кривой в виде (4.2). Другой пример, возведём x и y в (3.5) в квадрат и сложим:

=R²cos²t+ R²sin²t= R²(cos²t+sin²t)=R²,

то есть =R², и мы получили уравнение окружности в виде (4.1).

4.1.4. В предыдущем параграфе мы ввели полярные координаты. Ясно, что во всех видах уравнений линии можно вместо прямоугольных координат x и y рассматривать полярные  и . Тогда мы получим уравнения линии в полярных координатах. Уравнения (4.1)  (4.3)  это уравнения линии в прямоугольны координатах. Наиболее часто рассматривают уравнения в полярных координатах, аналогичные (4.1) и (4.2).

Например, уравнение окружности в полярной системе координат будет следующим: =R. Это уравнение означает, что для любого  точка окружности отстоит от начала координат на постоянное число (то есть   константа).

4.1.5. Преобразования координат иногда позволяют написать уравнение кривой (поверхности), исходя из известного его уравнения. Например, напишем уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x₀, y₀), зная его уравнение (4.4) в случае, когда центр окружности совпадает с началом системы координат. Введём новую систему Oxy с началом в центре окружности посредством параллельного переноса. Тогда в новой системе уравнение окружности имеет вид

x²+y²=R². (4.6)

Так как связь между старыми и новыми координатами имеет вид

то x=xx₀ и y=yy₀, подставляя которые в (4.6) получаем (xx₀)²+(yy₀)²=R². Это и есть искомое уравнение окружности.

4.1.6. Упражнения. 1. Найти уравнение геометрического места точек:

a) Равноудалённых от точек A(1, 1) и B(1, 1);

б) Равноудалённых от точек A(1, 1) и B(1, 1);

в) Равноудалённых от точек A(2, 1) и B(4, 1).

Решение. а) Пусть X(x, y)  произвольная точка геометрического места точек. Тогда по условию задачи |XA|=|XB|. Выразим расстояния |XA| и |XB| и в координатах:

|XA|= , |XB|= .

Тогда |XA|=|XB|  = . Возведём обе части последнего уравнения в квадрат: = . После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем xy=0, или y=x. Как известно из школьного курса геометрии, это  уравнение биссектрисы первого квадранта ПДСК.

Обратно, если связь между координатами точек множества y=x, то, как уже мы заметили, они образуют прямую  биссектрису первого квадранта ПДСК. Очевидно, они равноудалены от точек A(1, 1) и B(1, 1).

2. Исключить параметр из уравнения кривой:

а) x=3t, y=t+2;

б) x=3t², y=t+2;

в) x=3cost+5, y=3sint2.

3. Уравнения геометрического места точек упражнения 1 написать в полярных координатах.

Решение. a) В уравнение y=x в прямоугольных координатах подставим вместо y и x их выражения через полярные координаты x=cos, y=sin и преобразуем: sin =cos  tg=1 (обе части разделили на cos).

Ответ: tg=1.