
- •Глава 1 Справочная информация теоретического характера
- •§ 1. Логические основы школьного курса планиметрии
- •1.1. Справочная информация
- •1.2. Вопросы для самопроверки
- •1.3. Темы для сообщений и рефератов
- •§ 2. Основные понятия планиметрии
- •2.1. Справочная информация
- •2.2. Вопросы для самопроверки
- •2.3. Темы для сообщений и рефератов
- •§ 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии
- •3.1. Справочная информация
- •Основные теоремы планиметрии и следствия из них
- •1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)
- •2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы
- •3. Основные теоремы о треугольнике
- •4. Пропорциональность и подобие на плоскости
- •5. Основные геометрические неравенства
- •6. Основные геометрические места точек на плоскости
- •7. Теоремы о четырёхугольниках
- •8. Теоремы об окружностях
- •9. Векторы
- •Основные формулы планиметрии
- •Формулы аналитической планиметрии
- •3.2. Вопросы для самопроверки
- •3.3. Задачи теоретического характера для самостоятельного решения и разбора на факультативных занятиях
- •Глава 2 Практикум по решению задач
- •§ 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии
- •1.1. Задачи на треугольник
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Задачи на равнобедренный и равносторонний треугольники
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Задачи на прямоугольный треугольник
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Задачи на трапецию
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Задачи на параллелограмм
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Задачи на ромб
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.7. Задачи на прямоугольник
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.8. Задачи на квадрат
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.10. Задачи на окружность и круг
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач
- •2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Задачи на свойства параллельных прямых
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Задачи на пропорциональные отрезки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельной работы
- •2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Задачи на подобие
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.7. Задачи на вписанные углы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
- •Примеры решения задач
- •Задача для самостоятельного решения
- •2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.11. Разные задачи Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).
Рис. 196. Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD. В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.
Примеры решения задач
139. Дано (рис. 197): ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)
Рис. 197. Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);
Ответ:
140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)
Рис. 198. Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;
Ответ:
Задача для самостоятельного решения
141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)
Рис. 199.
2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. Это не случайно, ведь благодаря проведенной «лишней» линии, осуществленному повороту, построению симметричной фигуры или вспомогательной окружности даже очень сложная задача может решиться «в одну строчку». За примерами далеко ходить не надо.
Примеры решения задач
142. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а (рис. 200). (1)
Рис. 200. Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а. Ответ: 2?а. 143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)
Рис. 201. Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2. Ответ: 30 см2, 90°. 144. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции (рис. 202). (3)
Рис. 202. Решение. Пусть АВ = 2с, тогда CD = AD = с. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Получим треугольник ВАЕ. Так как CD = 1/2АВ, то CD – средняя линия треугольника ABE. Отсюда получаем, что СЕ = ВС = b и DE = AD = с. Получилось, что АВ = АЕ. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС – его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:
Далее, т. к. треугольники DCE и ABE подобны с коэффициентом подобия k = 1/2, то площадь треугольника DCE равна 1/4 площади треугольника ABE (отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Площадь трапеции, таким образом, равна 3/4 площади треугольника ABE, то есть равна 3/4аb 4 3 Ответ: 3/4аb. 145. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти длину АВ (рис. 203). (3)
Рис. 203. Решение. Повернём треугольник АСМ вокруг точки С на 60°. Тогда точка А перейдёт в точку В, точка М – в некоторую точку D, треугольник АСМ – в треугольник BCD. При этом CD = СМ и ?MCD = 60°, следовательно, треугольник CDM – равносторонний, а значит, и ?CDM = ?DMC = 60°. С помощью поворота получен вспомогательный треугольник BDM. Заметим, что BD = AM = 1, ВМ = ?3, DM = CM = 2. Значит, треугольник BDM прямоугольный (ведь BM2+ BD2= (?3)2+ 12= DM2), ?DBM = 90° и ?BMD = 30° (противолежащий катет BD равен половине гипотенузы MD). Далее вычислим угол ВМС. ?ВМС = ?BMD + ?DMC = 30° + 60° = 90°. Применив теорему Пифагора к треугольнику ВСМ, найдём, что
Ответ: ?7.