Глава 2 Практикум по решению задач
§ 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии
Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и тригонометрии. Это прежде всего задачи на решение треугольников, нахождение различных линейных элементов в геометрических фигурах (длин медиан, биссектрис, радиусов окружностей и т. д.), определение углов.
1.1. Задачи на треугольник
При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125):
Рис. 125.
где a, b, с – стороны треугольника; ?, ?, ? – противолежащие им углы; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей; ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а; S – площадь треугольника;
– полупериметр треугольника. Иногда применяют формулу
а также формулу расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей:
Примеры решения задач
1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)
Рис. 126. Решение. Обозначим больший угол треугольника через ?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?; cos ? = -7/32 < 0, значит, угол ? – тупой. Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол ? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы
Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым. Ответ: тупоугольный. 2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)
Рис. 127. Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:
Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°. Итого
Ответ:
3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, ?5 и 3 (рис. 128). (1)
Рис. 128. Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:
В нашем случае:
Полупериметр:
Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:
Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:
Ответ: ?5. 4. В треугольнике ABC, где ?ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2)
Рис. 129. Решение. Воспользуемся формулой длины медианы
У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC ? BC ? cos(?АСВ) = 62+ 42– 2 ? 6 ? 4 ? cos 120° = 36 + 16–48?(-1/2) = 76.
Ответ: ?7. 5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2)
Рис. 130. Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С. Из прямоугольного треугольника ВМС следует:
тогда
Из ?АКС:
А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:
Ответ: AB = ?41; AC = 5. 6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)
Рис. 131. Решение: Обозначим через ? наименьший угол в треугольнике и через ? наибольший угол. Тогда третий угол равен ? – ? – ?. По условию задачи ? – ? = ? – ? – ? (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2? = ?; ? = ?/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла ?, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctg?, а гипотенуза АС равна 1/sin ?. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:
а площадь равна:
Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:
откуда
Длина большей стороны треугольника равна
Ответ:
7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2) Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр
Расстояние между центрами окружностей:
Ответ:
8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)
Рис. 132. Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает: 1) на отрезок АВ; 2) на продолжение отрезка АВ за точку В; 3) в точку В. По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:
Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что
Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см. Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см. 9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3)
Рис. 133. Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:
Т. к. по условию задачи В1С1 :ВС = ?n, то
Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:
откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (2) Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (2) является квадратным. Его дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n2+ 10n – 3. Уравнение (2) будет иметь решения, если – 3n2+ 10n – 3 ? 0, т. е. при -1/3 ? n ? 3. Т. к. n – натуральное число, большее 1, то уравнение (2) имеет решения при n = 2 и n = 3. При n = 3 уравнение (2) имеет корень х = 1; при n = 2 уравнение имеет корни
Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно
при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет.