2. Математическая теория броуновского движения

Проверка молекулярно-кинетического объяснения бро­уновского движения и вычисление из этого явления постоянных k и N_A стали возможными лишь после того, как в 1905 г. Эйн­штейн разработал математическую теорию броуновского дви­жения, в которую мгновенная скорость броуновской частицы не входит. Вместо неё входит длина прямолинейного отрезка, со­единяющего положение частицы в два различных момента вре­мени - величина, доступная измерению на опыте. При разра­ботке своей теории Эйнштейн ничего не знал о существовании броуновского движения. Он предсказал это явление и построил его полную количественную теорию. Польский физик Мариан Смолуховский (1872-1917) в 1906 г. независимо от Эйнштей­на также построил количественную теорию броуновско­го движения. Приведем здесь упрощенный вывод формулы Эйнштейна - Смолуховского.

Будем считать, что броуновская частица имеет форму ша­рика радиусом а. Рассмотрим движение её в жидкости. Если небольшой шар радиусом а равномерно движется в жидкости со скоростью , то, как показывают опыт и теория, на него дей­ствует сила сопротивления F, пропорциональная скорости . Коэффициент пропорциональности В в формуле

= BF (14.2)

называется подвижностью частицы. Для шарообразной час­тицы подвижность была теоретически вычислена Стоксом (1819-1903), который нашёл

B = , (14.3)

где - коэффициент внутреннего трения, или динамическая вязкость жидкости. Единица измерения этой величины - пуаз (1 П = 1 Па-с).

Таким образом, подвижность сферической частицы об­ратно пропорциональна её радиусу. Она может быть измерена по скорости установившегося движения частицы под действием силы тяжести (точнее, под действием разности силы тяжести и архимедовой подъемной силы). Достаточно измерить под­вижность для какой-либо одной крупной частицы. Если радиус её равен а_о, а подвижность В_о, то подвижность частицы радиу­сом а найдется по формуле

B = B₀.

Уравнение динамики движения броуновской частицы имеет вид т = , где - сумма всех сил, действующих на частицу в данный момент времени. Вдоль направления неко­торой оси X его можно записать в виде

т = - + F_x .

Первое слагаемое в правой части есть сила трения, обусловлен­ная движением броуновской частицы со скоростью . Второе слагаемое F_x учитывает беспорядочно действующие толчки, ко­торым подвергается броуновская частица со стороны окру­жающих молекул. В сущности, и первое слагаемое - сила тре­ния - также обусловлено толчками молекул. Однако, если час­тица уже движется, то в среднем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении дви­жения. Это обстоятельство и учитывается слагаемым - /В. Слагаемое же F_x есть сила толчков, которая действовала бы на частицу, если бы она была неподвижна. Среднее значение такой силы равно нулю.

Умножим предыдущее уравнение на х и преобразуем его, пользуясь следующими тождествами:

= 2x ; = 2 + 2x .

Получим m + x.

Будем отсчитывать координату х от положения частицы, которое она занимала в момент времени t = 0. Напишем преды­дущее уравнение для каждой из множества тождественных бро­уновских частиц, сложим и разделим на число всех частиц, т. е. усредним уравнение по всем частицам. Ввиду хаотичности мо­лекулярного движения = 0. Далее, согласно формуле (14.1), = kT (на одну из трёх поступательных степеней сво­боды приходится треть энергии частицы). Поэтому получаем

m + - 2 kT = 0 . (14.4)

Заметим, что все положения броуновской частицы и все моменты времени совершенно равновероятны. Отсюда следует, что смещение броуновской частицы за время t₂ - t₁ между дву­мя моментами времени t₁ и t₂ есть случайная функция только разности t₂ - t₁ не зависит ни от t₁ ни от t_2. Слово случайная оз­начает, что эта функция ещё не определяется значением аргу­мента t₂ - t₁. При одном и том же значении t₂ - t₁ смещение час­тицы может принимать любые значения, но с различной веро­ятностью. Аргументом t₂ - t₁ определяются не сами смещения, а их вероятности.

В математике доказано, что усредненная величина есть линейная однородная функция времени t, однозначно оп­ределяющаяся значением аргумента. Проведённые рассуждения справедливы для броуновских частиц любой формы, а не толь­ко сферических. Итак, должно быть

=At.

Постоянная А определится подстановкой этого выражения в уравнение (14.4). В результате получится

= 2kTBt. (14.5)

Это и есть формула Эйнштейна - Смолуховского. В ней х означает смещение частицы только в одном избранном направ­лении (принятом нами направлении оси X), т. е. х есть проекция полного смещения на это направление. Очевидно,

r²= x²+ y²+ z².

Усредняя и принимая во внимание, что = = получим = 3 . Поэтому формулу Эйнштейна - Смолуховского можно также записать в виде

= 6kTBt. (14.6)

Вместо характеристики подвижности частицы В зачастую более употребительной является обратная величина

b = = 6π а,

называемая коэффициентом вязкого трения (данной частицы в данной жидкости) и имеющая единицу измерения П м. Тогда формула (14.6) примет окончательный вид

t. (14.7)

Формулы (14.6), (14.7) были со всей возможной тщатель­ностью подтверждены экспериментально французским физиком Жаном Перреном (1870-1942) в ряде работ, начатых в 1908 г. Перрен отмечал через равные промежутки времени последова­тельные положения одной какой-либо определенной броунов­ской частицы в поле зрения микроскопа и соединял эти поло­жения прямолинейными отрезками. Полученные Перреном ло­маные линии очень похожи на приведённые на рис. 14.1. Также на рисунке легко измерить проекции рассматриваемых переме­щений на выбранную ось.

В данной лабораторной работе на экране компьютера мо­делируется движение броуновской частицы.