1. Цель работы

Изучить распределение Больцмана и определить постоян­ную Больцмана из распределения броуновских частиц в поле силы тяжести. Определить средний диаметр броунов­ских частиц.

2. Приборы и принадлежности

Работа выполняется на компьютере.

2. Теоретическая часть

З.1. Барометрическая формула

О

Рис. 13.1

дним из выводов моле­кулярно-кинетической теории является равномерное распре­деление молекул газа по объ­ему в отсутствии внешних сил. Однако молекулы любого газа находятся в гравитацион­ном поле Земли, являющимся потенциальным. Сила тяже­сти, с одной стороны, и тепло­вое движение молекул - с дру­гой, приводят к некоторому стационарному состоянию га­за, при котором давление газа с высотой убывает.

Для вывода закона изме­нения давления с высотой рас­смотрим силы, действующие на тонкий слой воздуха толщиной dh, находящийся на высоте h (рис. 13.1).

Сила тяжести

тяж = m = V = Sdh,

где т - масса газа в слое dh ; V - его объём; - плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной); S - площадь слоя.

Предположим, что поле тяготения однородно, температу­ра постоянна, масса всех молекул одинакова.

Если атмосферное давление на высоте h равно р, то на вы­соте h + dh оно равно р + dp (при dh> 0 будет dp < 0, так как давление с высотой убывает). Модули сил давления газа на этот слой со стороны соседних слоев: нижнего Fниж = pS и верхнего F верх. = (р + dp)S . Для выполнения условия равновесия необходимо, чтобы сумма сил, действующих на слой dh, равня­лась нулю:

тяж + верх + ниж = 0 .

В проекции на ось Y это даёт:

F тяж + F верх - F ниж =0 или gSdh + (р + dp)S - pS = 0,

откуда после преобразований получаем

dp = - gdh. (13.1)

Выразим плотность газа из уравнения состояния идеаль­ного газа ( V = (M/ )RT, где - молярная масса газа):

=M/V = /(RT).

Подставив это выражение в (1), получим

dp = - dh.

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от p₁ до p₂ (рис. 13.1), т. е.

= - .

Проинтегрировав, получаем

= - (h₂- h₁) ,

или р₂ = р_{1 .} (13.2)

Выражение (13.2) называется барометрической форму­лой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высо­ты отсчитываются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (13.2) может быть запи­сано в виде

р = (13.3)

где р - давление на высоте h; р_о - нормальное давление, которое приближённо можно считать равным 10⁵ Па.

Прибор для определения высоты над поверхностью Земли называется высотомером (или альтиметром). Принцип его дей­ствия основан на использовании формулы (13.3). Из этой фор­мулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.