3.2.Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения

Если большое число молекул идеального газа, каждая из которых обладает произвольной скоростью (и кинетической энергией), поместить в общий сосуд, то в результате много­кратных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. В результате устанавливается некото­рое стационарное, не меняющееся со временем, распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определен­ному статистическому закону. Все направления движения при этом являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

При выводе закона распределения молекул по скоро­стям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень боль­шого числа N тождественных молекул, находящихся в со­стоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f( ), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интерва­лы, равные d , то на каждый интервал скорости будет прихо­диться некоторое число молекул dN( ), имеющих скорость, за­ключенную в этом интервале. Физический смысл функции f( ) состоит в том, что она определяет относительное число молекул dN( )/N, скорости которых лежат в интервале от до + d , т. е.

dN( )/N =f( )d , (12.3)

откуда

f( )= .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f( ) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

f( )= 4 exp , (12.4)

где - масса молекулы; k - постоянная Больцмана; Т - абсо­лютная температура газа.

Из (12.4) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (тем­пературы).

Следовательно, число молекул, значения скоростей кото­рых заключены в интервале от до + d согласно (12.3) и (12.4), равно

dN=N4 exp (12.5)

График функции (12.4) приведен на рис. 12.2. Так как при возрастании экспоненциальный множитель уменьшается быст­рее, чем растет множитель то функция f( ), начинаясь от нуля, достигает максимума при (называемой наиболее ве­роятной скоростью молекул данного газа) и затем асимптотиче­ски стремится к нулю. Кривая f( ),несимметрична относительно скорости . Относительное число молекул dN( )/N, скорости которых лежат в интервале от до + d , находится как пло­щадь dS заштрихованной полоски на рис. 12.2. Площадь, ограни­ченная всей кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что f( ) удовлетворяет условию нормировки:

f( ) =1.

Рис. 12.2. График функции распределения молекул идеального газа по скоростям

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (12.4) по аргументу и при­равняв производную к нулю (стандартный математический приём нахождения минимумов и максимумов функции):

. (12.6)

Значения = 0 и = соответствуют минимумам выра­жения (12.4), а значение , при котором выражение в скобках становится равным нулю (2кТ = ), и есть искомая наибо­лее вероятная скорость :

= = (12.7)

где R - универсальная газовая постоянная; М - молярная мас­са газа.

Из формулы (12.7) следует, что при повышении темпе­ратуры максимум функции распределения молекул по скоро­стям сместится вправо (значение наиболее вероятной скоро­сти становится больше). Однако площадь под кривой оста­нется неизменной, так как f( ) должна удовлетворять усло­вию нормировки. В результате при повышении температуры максимум молекул по скоростям будет смещаться и понижать­ся (рис. 12.3). Также при одинаковых температурах более лёг­кие молекулы имеют большие скорости, чем тяжёлые.

Зная функцию распределения молекул по скоростям f( ), можно найти среднюю арифметическую скорость молекулы , она же является средним модулем мгновенной скорости (т. к. молекула не выходит за пределы некоего объёма, то средняя скорость обычно близка к нулю). По определению

= (12.8)

Значение этой скорости совпадает с положением геометри­ческого центра тяжести фигуры под кривой (см. рис. 12.2).

В результате интегрирования получаем

1,13 (12.9)

Таким образом, координата геометрического центра тяже­сти фигуры под кривой f( ) оказывается правее максимума рас­пределения из-за несимметричности функции распределения.

Зачастую оказывается более удобно пользоваться величи­ной средней квадратичной скорости:

= 1,22 (12.10)

Рис. 12.3. Изменение функции распределения молекул идеального газа по скоростям при повышении абсолютной температуры газа

Для нахождения функции распределения молекул по энергиям е теплового движения перейдём от переменной к перменной

.

Подставив в (12.4) и d = d ,

получим f ( ) = ехр(- / (kT)).

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

= kT. (12.11)